2019-2020年高一下学期自主学习数学试卷含解析.doc

2019-2020年高一下学期自主学习数学试卷含解析一、填空题（每小题5分，共60分）1已知sin（+）=，则cos=2不等式3x的解集为3设x，y，zR，若2x3y+z=3，则x2+（y1）2+z2之最小值为，又此时y=4如果关于x的不等式|x3|+|x4|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是5已知2sin+cos=0，求2sin23sincos5cos2=6已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为7已知2sin+cos=（0），则tan=8设0t，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a=9函数y=（x1）的最小值是10已知函数y=sin2（x）+是偶函数，且0，则=11已知x，y，zR+，x2y+3z=0，则的最小值12已知函数f（x）=，有下列四个结论：函数f（x）在区间，上是增函数：点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；若x0，则函数f（x）的值域为0，则所有正确结论的序号是二、解答题（共3小题，共40分）13已知函数f（x）=cos（x+）（0，0）的最小周期为，且f（）=（1）求函数y=f（x）解析式，并写出周期、振幅；（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；（3）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数f（x）在0，上的图象14已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn15已知函数f（x）=且f（x）0的解集为（1，0）（0，2）（1）求k的值；（2）如果实数t同时满足下列两个命题； x（，1），t1f（x）恒成立；x0（5，0），t1f（x0）成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3ax）仅有一解，求实数a的取值范围附加题：（共1小题，满分0分）16已知数集A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质P；对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A（I）分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（）证明：a1=1，且；（）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列xx学年北京师大附中高一（下）自主学习数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共60分）1已知sin（+）=，则cos=【考点】三角函数的化简求值【分析】sin（+）=cos，由此能求出结果【解答】解：sin（+）=，sin（+）=sincos=cos=cos=故答案为：2不等式3x的解集为（1，+）【考点】其他不等式的解法【分析】先求出根式成立的条件，再分类讨论，即可求出不等式的解集【解答】解：由x+30得x3，当3x0时，即x3时，不等式恒成立，当3x0时，即3x3原不等式化为x+3（3x）2=96x+x2，即为x27x+60，即为（x1）（x6）0，解得1x3，不等式的解集为（1，+），故答案为：（1，+）3设x，y，zR，若2x3y+z=3，则x2+（y1）2+z2之最小值为，又此时y=【考点】柯西不等式的几何意义【分析】由条件可得z=32x+3y，x2+（y1）2+z2=x2+（y1）2+（32x+3y）2，配方由非负数概念，可得最小值和y的值【解答】解：z=32x+3y，x2+（y1）2+z2=x2+（y1）2+（32x+3y）2=5x212x（y+1）+9（y+1）2+（y1）2=5x1.2（y+1）2+1.8（y+1）2+（y1）2=5x1.2（y+1）2+2.8y2+1.6y+2.8 =5x1.2（y+1）2+2.8y2+y+（）2+2.8=5x1.2（y+1）2+2.8（y+）2+当且仅当x=，y=时，取得最小值，且为故答案为：，4如果关于x的不等式|x3|+|x4|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是a1【考点】绝对值不等式【分析】先求不等式|x3|+|x4|的最大值，要求解集不是空集时实数a的取值范围，只要a大于不等式|x3|+|x4|的最大值即可【解答】解：|x3|+|x4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1其它情况都大于1所以|x3|+|x4|1如果不是空集，所以 a1故选A15已知2sin+cos=0，求2sin23sincos5cos2=【考点】三角函数的化简求值【分析】求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，求解即可【解答】解：2sin+cos=0，可得tan=2sin23sincos5cos2=故答案为：6已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为【考点】弧长公式【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值【解答】解：如图：设AOB=2，AB=2，过点0作OCAB，C为垂足，并延长OC交于D，则AOD=BOD=1，AC=AB=1RtAOC中，r=AO=，从而弧长为 r=2=，故答案为7已知2sin+cos=（0），则tan=【考点】同角三角函数间的基本关系【分析】由题意和cos2+sin2=1，解方程组可得sin和cos，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解【解答】解：（0，），2sin+cos=，可得：cos=2sin，又cos2+sin2=1，5sin2sin=0，解得：sin=，cos=，tan=故答案为：8设0t，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a=9【考点】三角函数的最值【分析】凑出f（t）=（）（cost+1cost）整理后，利用基本不等式求得f（t）的最小值，求得t【解答】解：0t，0cost1，f（t）=（）（cost+1cost）=1+a1+a+2=16，当且仅当=时，等号成立求得=3或5（舍去），a=9，故答案为：99函数y=（x1）的最小值是【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由y=，得到（4y）x2+（2y）x+5y=0，即关于x的方程由大于1的根，方程根的关系即可求出y的范围，即可求出y的最小值【解答】解：y=，yx2+yx+y=4x2+2x+5，（4y）x2+（2y）x+5y=0，当y=4时，此时x=，不满足题意，当y4时，x1，解得y4，故y的最小值为，故答案为：10已知函数y=sin2（x）+是偶函数，且0，则=【考点】正弦函数的对称性【分析】由题意利用三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性可得+=k+，kZ，即=k+，kZ，由此求得的值【解答】解：函数y=sin2（x）+是偶函数，+=k+，kZ，即=k+，kZ，结合0，则=，故答案为：11已知x，y，zR+，x2y+3z=0，则的最小值3【考点】基本不等式【分析】由x2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可【解答】解：x2y+3z=0，=，当且仅当x=3z时取“=”故答案为：312已知函数f（x）=，有下列四个结论：函数f（x）在区间，上是增函数：点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；若x0，则函数f（x）的值域为0，则所有正确结论的序号是【考点】正弦函数的图象【分析】画出函数的图象，根据函数的单调性即可求出单调增区间；根据函数的对称中心即可求出函数f（x）的对称中心；根据函数图象的平移即可得到结论；根据函数单调性和定义域即可求出值域，进而得到正确结论的个数【解答】解：f（x）=，画出函数的图象如图所示函数f（x）的增区间为x|+2k2x+2k，kz即x|+kx+k，kz，区间，是函数f（x）一个增函数：故正确，函数f（x）图象的对称中心为2x+=k，即x=k，当k=1时，x=，点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故正确，对于函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到，故错误；对于x0，则函数f（x）的值域为1，故错误故答案为：二、解答题（共3小题，共40分）13已知函数f（x）=cos（x+）（0，0）的最小周期为，且f（）=（1）求函数y=f（x）解析式，并写出周期、振幅；（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；（3）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数f（x）在0，上的图象【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；五点法作函数y=Asin（x+）的图象【分析】（1）根据函数的最小周期求出，f（）求出的值，写出f（x）的解析式、周期和振幅；（2）根据余弦函数的图象与性质，即可得出y=f（x）的单调递减区间；（3）利用列表描点法，作出函数f（x）在0，上的图象即可【解答】解：（1）函数f（x）=cos（x+）的最小周期为，T=，=2；又f（）=cos（2+）=sin=，sin=；又0，=，函数y=f（x）=cos（2x），且周期是k，kZ，振幅为1；（2）函数y=f（x）=cos（2x），令2k2x2k+，kZ，解得k+xk+，kZ，函数y=f（x）的单调递减区间是k+，k+，kZ；（3）0x，2x；则列表如下：2x0x0y1010通过列表描点，作出函数f（x）在0，上的图象如图所示：14已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列的函数特性；数列递推式【分析】（）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（）由（）可得bn=对n分类讨论“裂项求和”即可得出【解答】解：（）等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，Sn=n2n+na1，S1，S2，S4成等比数列，化为，解得a1=1an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）由（）可得bn=（1）n1=Tn=+当n为偶数时，Tn=+=1=当n为奇数时，Tn=+=1+=Tn=15已知函数f（x）=且f（x）0的解集为（1，0）（0，2）（1）求k的值；（2）如果实数t同时满足下列两个命题； x（，1），t1f（x）恒成立；x0（5，0），t1f（x0）成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3ax）仅有一解，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）根据根与系数的关系，以及不等式的解集即可求出k的值，（2）先求出f（z），再根据导数判断出单调性，x（，1），t1f（x）恒成立，转化为求f（x）min，x0（5，0），t1f（x0）成立，转化为求f（x）max，问题得以解决，（3）x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3ax）仅有一解转化为x2（a+1）x+1=0在（0，2）上仅有一个解，根据方程根的问题即可求出【解答】解：（1）f（x）=且f（x）0，等价于kx2+x+20，且x0即kx2x20，且x0，f（x）0的解集为（1，0）（0，2），k0，且1+2=，解得k=1（2）x（，1），t1f（x）恒成立，tf（x）+1在x（，1）上恒成立，由（1）可得f（x）=+1，f（x）=0，在x（，1）上恒成立，f（x）在（，1）上为减函数，f（x）f（1）=1+21=2，t2+1=3，由可知，f（x）在（5，0）上为减函数f（x）f（5）=+1=，t+1=t，3（3）关于x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3ax）仅有一解，0x2f（x）x2=3ax，即x2+x+2=3ax，即x2（a+1）x+1=0在（0，2）上仅有一个解，当=（a+1）24=0时，即a=1时，方程有唯一解，当=（a+1）240时，即a1或a3，f（0）f（2）0，142（a+1）+10，解得a，综上所述a的取值范围为1，+）附加题：（共1小题，满分0分）16已知数集A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质P；对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A（I）分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（）证明：a1=1，且；（）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列【考点】数列的应用【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集1，3，4与1，2，3，6中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（）由性质P，知ananan，故ananA，从而1=A，a1=1再验证又，从而+=a1+a2+an，命题得证；（）跟据（），只要证明即可【解答】解：（）由于3与均不属于数集1，3，4，该数集不具有性质P由于12，13，16，23，都属于数集1，2，3，6，该数集具有性质P（）A=a1，a2，an具有性质P，anan与中至少有一个属于A，由于1a1a2an，ananan故ananA从而1=A，a1=11=a1a2an，n2，akanan（k=2，3，4，n），故akanA（k=2，3，4，n）由A具有性质P可知A（k=2，3，4，n）又，从而+=a1+a2+an，且；（）由（）知，当n=5时，有，即a5=a2a4=a32，1=a1a2a5，a3a4a2a4=a5，a3a4A，由A具有性质P可知A由a2a4=a32，得A，且1，即a1，a2，a3，a4，a5 是首项为1，公比为a2等比数列xx年11月12日