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2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,一、卷积积分,1. 已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和 f2(t)，则定义积分,为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分 变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。,2.3 卷积积分,2. 信号的时域分解与卷积积分,yZS (t),f (t),根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t -),h(t -),f ()(t -),由齐次性：,f () h(t -),由叠加性：,f (t),yzs(t),yZS (t),f (t),LTI系统的零状态响应：,2.3 卷积积分,例1. f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t 1)(t)，求yzs(t)。,例2. f (t) = 3e -2t (t),（-t)，h(t) = 2(t)，求yzs(t)。,两因果信号的卷积：,2.3 卷积积分,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得 f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2(); 左右移动 f2(t-)，找相同上下限公共部分。 （3）乘积： f1() f2(t-) （4）积分： 从 上限到下限对乘积项积分。 注意：t为参变量。,2.3 卷积积分,图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。,例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？,f1(-),f1(2-),解：,（1）换元,（2） f1()得f1(),（3） f1()右移2得f1(2),（4） f1(2)乘f2(),（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）,2.4 卷积积分的性质,2.4 卷积积分的性质,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。,一、卷积代数,满足乘法的三律： 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t),2.4 卷积积分的性质,二、函数与冲激函数的卷积,1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t),f(t)*(t t0) = f(t t0),2. f(t)*(t) = f(t),f(t)*(n)(t) = f (n)(t),3. f(t)*(t),(t) *(t) = t(t),4. 卷积的时移特性,若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t t1)* f2(t t2) = f(t t1 t2),2.4 卷积积分的性质,三、卷积的微分与积分,1.,2.,3. 在f1(-) = 0 f2(-) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = f1(1)(t) *f2(t),2.4 卷积积分的性质,求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。,
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