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29.1.2 正投影基础训练 知识点1 正投影的定义1.球的正投影是()A.圆B.椭圆C.点D.圆环2.如图,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影是()3.把一个正五棱柱如图摆放,当投影线由正前方射到后方时,它的正投影是()4.下列投影中,正投影有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图所示的圆台的上、下底面与投影线平行,此圆台的正投影是()A.矩形 B.两条线段C.等腰梯形D.圆环6.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是()A.圆B.圆柱C.梯形D.矩形7.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是()A.三角形 B.线段C.矩形 D.正方形知识点2 正投影的性质8.几何体在平面P的正投影,取决于()几何体形状;几何体与投影面的位置关系;投影面P的大小.A.B.C.D.9.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为()A.20 cm2B.300 cm2C.400 cm2D.600 cm210.一根笔直的小木棒(记为线段AB),它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成立的是()A.AB=CDB.ABCDC.ABCDD.ABCD11.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是.12.如图,请用平行投影的方法画出圆柱的正投影.提升训练考查角度1 利用正投影的性质求影长(转化思想)13.已知一根长为8 cm的木棒AB与投影面平行,投影线垂直于投影面.(1)求此时的影子A1B1的长度;(2)如图是将木棒绕其端点A逆时针旋转30后的示意图(此时平面ABB2A2垂直于投影面),求旋转后木棒的影长A2B2.考查角度2 利用解直角三角形求正投影的面积14.已知一纸板的形状为正方形ABCD,且边长为10 cm.如图,四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面上的正投影,AD,BC与投影面平行,且AB,CD与投影面成30角,求正方形ABCD的正投影的面积.探究培优拔尖角度1 利用投影的定义探究几何中的投影问题15.操作与研究:如图,ABC被平行光线照射,CDAB于D,AB在投影面上.(1)指出图中AC的投影是什么,CD与BC的投影呢?(2)探究:当ABC为直角三角形(ACB=90)时,易得AC2=ADAB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.通过上述结论的推理,请证明以下两个结论:BC2=BDAB;CD2=ADBD.拔尖角度2 利用投影的定义进行方案设计16.如图,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6 m的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15 m处要盖一栋高20 m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时,(1)问:超市以上的居民住房的采光是否有影响?(2)若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距多少米?结果保留整数,参考数据:sin 3253100,cos 32106125,tan 3258参考答案1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C解：根据正投影的性质可知,该几何体的正投影应为等腰梯形.6.【答案】D解：当投影线与圆柱的底面平行时,它的正投影为矩形.7.【答案】A 8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】D11.【答案】15412.错解:如图所示.剖析:错解的原因是没有正确理解正投影的含义.圆柱的正投影是平行光线下的投影,投影线与投影面是垂直的,所以投影后是矩形(最大截面).由于上、下底面与投影面垂直,故其正投影为两条线段,不可能是圆.正解:如图所示.13.分析:(1)当木棒平行于投影面时,其正投影的长度与木棒的长度一致;(2)当木棒倾斜于投影面时,可转化为解直角三角形来求解.解:(1)因为木棒平行于投影面,所以A1B1=AB=8 cm,即此时的影子A1B1的长度为8 cm.(2)如图,过点A作AHBB2于点H.因为AA2A2B2,BB2A2B2,所以四边形AA2B2H为矩形,所以AH=A2B2.在RtABH中,BAH=30,AB=8 cm,所以A2B2=AH=ABcos 30=832=43(cm).即旋转后木棒的影长A2B2为43cm.14.解:如图,过点A作AHBB1于点H.依题意,得BAH=30,四边形A1B1C1D1是矩形,其中A1D1=AD=B1C1=BC,A1B1=C1D1=AH.AHBB1,BAH=30,AH=ABcos 30=1032=53(cm),A1B1=AH=53cm.A1D1=AD=10 cm,S四边形A1B1C1D1=A1B1A1D1=5310=503(cm2).则正方形ABCD的正投影的面积是503cm2.规律总结:求投影的面积,先确定投影的形状,再根据相应的面积公式,有针对性地求出相关线段的长.15.(1)解:AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD.(2)证明:易证得BCDBAC,可得BC2=BDAB;易证得ACDCBD,可得CD2=ADBD.16.解:(1)如图,设CE=x m,则AF=(20-x)m.tan 32=AFEF,即20-x=15tan 32,x11.116,超市以上的居民住房的采光有影响.(2)当tan 32=ABBC时,BC2085=32(m),若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距32 m.
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