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全国初中数学竞赛预选赛试题(初二)(考试时间：120分钟，满分140分)一、选择题：(每小题7分，共42分)1、已知实数a满足：|2004-a|+a，那么a-20042 ( )A、2003 B、2004 C、2005 D、20062、如图，在ABC中，CRt，CDAB于D，在(1) DCABACBC， (2) (3) (4)AC+BCCD+AB中正确的个数是 ( )A、4 B、3 C、2 D、1 3、实数a，b，c，d满足：abcd1001，acbd4，则：= ( )A、1001 B、2002 C、2003 D、20044、在ABC中，A BC，A90，画直线使它把 ABC 分成两部份，且使其中一部分与ABC 相似，这样的互不平行的直线有( )条（ ）A、3 B、4 C、5 D、65、已知二次函数y=ax2+c,且当x1时，4y 1，当x2时,1y5，则当x3时，y的取值范围是()A、1 y 20 B、 4 y 15 C、7 y 26 D、 y 6、n是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为a，当n分别乘以3，5，7，9后得到四个乘积，如果其每个乘积的各位数的数字之和仍为a，那么这样的两位数有()个。（ ）A、3 B、5 C、7 D、9二、填空题：（每小题7分，共28分）7、某电影院的票价是：个人每张6元，每10人一张团体票为40元，学生享受九折优惠，某校1258名学生看电影(教师免票)，学校应向电影院至少付_元钱。8、利用公式(a2b2)(c2d2)=(acbd)2(bcad)2 或其它方法找出一组正整数填空：(229232)(429252)=( ) 2+92( ) 2。9、如图，梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，OCD的面积为11cm2，则阴影部分的面积为 _ cm2。10、在表达式S=中， x1、x2、x3、x4 是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4 互不相同）。则使S为实数的不同排列的种数有 种。三、(本题满分20分)某同学买某种铅笔，当他买了x支，付了y元（x、y都是整数）时，营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你可节省2元钱”。求xy。四、(本题满分25分)如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数为矩形ABCD的周长，求mn。五、(本题满分25分)1、试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又问如何把正方形按上要求分成31个正方形？2、试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体(要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同)。全国初中数学竞赛预选赛答案一、1. C; 2.B ; 3. B; 4. D; 5. A; 6. B; 二、7. 4536; 8. 1388，2; 9. 12; 10. 16;三、根据营业员的话，y的值只能是1或2。 (3分)(1)当y=1时，则原来每支价格为元，多买10支，每支节省元。现在每支价格为(-)元。设多买10支后共m支，则有(-)m=2(4分)，此时m只能取15, 30, 45, 60。经讨论只有当m=15，x=5时才符合题意。（6分）(2)当y=2时，则(-)m=2 无论m为何整数均不合题意。 (5分)所求x=5、y=1 (2分)（注：y=2不讨论适当扣分）四、设AS=x、AP=y (2分)，由菱形性质知PRSQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心。由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25。由对称性知CQ、CR的长为x、y。则RtASP和RtCQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt的面积之和。则有：(20+x)(15+y)=62015+2xy （8分）则有 3x+4y=120 (1)又 x2+y2=625 (2) (2分)得 x1=20 x2= y1=15 y2= (5分)当x=20时 BC=x+BQ=40 这与PR=30不合故 x= y= (2分)矩形周长为2(15+20+x+y)= (5分)即：m+n=677 (1分)五、 1、容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16-9+1=8个正方形 。 (8分)分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16-5+54=31个正方形。 (8分)2、把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27-4+423=55个立方体。 （9分）
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