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例1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AB=5,则AD的长是 （ ） A. B. C .5 D.10,重点中学与你有约,解题技巧,在矩形ABCD中,AO=BO,故选A.,例1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AB=5,则AD的长是 （ ） A. B. C .5 D.10,又AOB=60， AOB是等边三角形，BO=AB=5,BD=2BO=10,举一反三,思路分析:根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由AOB=60，判断出AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可,如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AC=6cm，则AB的长是（ ） A3cm B6cm C10cm D12cm,失误防范,矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形； 矩形的性质： （1）矩形的对边平行且相等，对角线互相平分； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等.,例2.对于四边形ABCD，给出下列6组条件： A=90,B=C=D;A=B=90,C=D;A=B=C=D;AB=CD,AD=BC,AC=BD; AC=BD;ABCD,ADBC.其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（ ） A1组 B2组 C3组 D4组,重点中学与你有约,解题技巧,由A=90，B=C=D可以得到A=B=C=D=90，故正确；,由A=B=90，C=D=90可以得到A=B=C=D=90，故正确；,ABCD，ADBC，只能得到四边形为平行四边形，故错误； 正确的有4个，故选D,A=B=C=D能得到四个角都是直角，故正确；,由AB=CD,AD=BC能得到四边形为平行四边形，由AC=BD得到四边形为矩形，故正确；,AC=BD，对角线相等的四边形不一定是矩形，故错误；,思路分析:根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可,对于四边形ABCD，下面给出对角线的三种特征：AC、BD互相平分；ACBD；AC=BD当具备上述条件中的 ，就能得到“四边形ABCD是矩形”,失误防范,矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形叫作矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形.,例3.如图，在矩形ABCD，AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC 于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ） A3 B3.5 C2.5 D2.8,重点中学与你有约,解题技巧,EO是AC的垂直平分线， AE=CE， 设CE=x，则ED=ADAE=4x， 在RtCDE中，CE2=CD2+ED2， 即x2=22+（4x）2， 解得x=2.5， 即CE的长为2.5 故选：C,举一反三,思路分析:设AE=x，则ED=4x，利用勾股定理列方程：x2=32+（4x）2，求出x的值，再利用勾股定理计算OE的长，由全等证明OE=OF，从而得出EF=2OE,如图，在矩形ABCD中，AD=4，CD=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，则EF的长为_,举一反三,失误防范,在矩形中求线段长： 此类题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理； 在矩形中，通常设未知数，利用勾股定理列方程可求得线段的长，并熟练掌握矩形的性质.,例4.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DEAF，垂足是E，连接DF.求: (1) ABFDEA；（2）DF是EDC的平分线.,重点中学与你有约,解题技巧,（1）四边形ABCD是矩形， B=90,AD=BC,ADBC,DAE=AFB, DEAF，DEA=B=90， AF=BC，AF=AD， DEAABF（AAS）； （2）由（1）知ABFDEA， DE=AB， 四边形ABCD是矩形， C=90，DC=AB，DC=DE DEA=90 C=DEF=90 DF=DF RtDEFRtDCF（HL） EDF=CDF， DF是EDC的平分线,举一反三,如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DEAF，垂足为点E 求证：DE=AB,思路分析:由矩形的性质得出B=C=90，AB=DC，BC=AD，ADBC，得出EAD=AFB，由AAS证明ADEFAB，得出对应边相等即可,答案： 四边形ABCD是矩形， B=C=90，AB=DC，BC=AD，ADBC， EAD=AFB， DEAF， AED=90， 在ADE和FAB中， ADEFAB（AAS）， DE=AB ,失误防范,1.矩形的性质： （1）矩形的4个内角都是直角； （2）矩形的对角线相等且互相平分； （3）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等； （4）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴；对称中心是对角线的交点. （5）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质； （6）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.,失误防范,2.矩形的判定： 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形.,例5.如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD交BC于E,CAE=15，则BOE=_.,重点中学与你有约,解题技巧,四边形ABCD为矩形， DAB=ABC=90，AO=OB， 又AE平分BAD， BAE=45， 而CAE=15， BAO=60， ABO是等边三角形， BO=BA，ABO=60 OBE=30 又 ABE是等腰直角三角形， BE=BA， BO=BE， BOE= BEO= （180OBE）/2 = （18030）/2 =75,举一反三,如图，矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，AE平分BAD交于BC边上的中点E，连接OE下列结论：ACB=30；OEBC；OE= BC/4其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D0,思路分析:由矩形的性质和等腰三角形的性质，证出ABE是等腰直角三角形，得出不正确，、正确；即可得出结论,举一反三,失误防范,等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合； （3）等腰三角形的两底角的平分线相等； （4）等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等.,例6.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,CD上的点，AE=CF，连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O，且BE=BF,BEF=2BAC. （1）求证：OE=OF; (2)若BC= ，求AB的长.,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：四边形ABCD是矩形，CDAB， FCO=EAO， 在FCO和EAO中， FCOEAO（AAS）， OF=OE.,解题技巧,（2）如图，连接OB， BE=BF，OE=OF， BOEF， FCOEAO，OA=OC, OB= AC=OA, BAC=ABO. 在RtBEO中，BEF=2BAC，BAC=ABO， 2BAC+BAC =90， 解得BAC =30， BC=2 ， AC=2BC=4 ， AB= =6,举一反三,如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AD、BC上的点，连接AF、EF，EF与对角线BD交于点O若AE=AF=CF=12，AEF=2ADB，求矩形ABCD的面积,举一反三,思路分析:连接AC、EC首先证明AC经过点O，由ECDECO，推出DC=OC=OA，推出AC=2CD，推出DAC=30，由此即可解决问题,答案：连接AC、EC 四边形ABCD是矩形，DEBF，AD=BC， EDO=OBF，AE=CF，DE=BF， EOD=BOF，EODFOB， OB=OD， AC经过点O， AEF=2ADB，AEF=EDO+EOD， EDO=EOD， ED=EO，同理可知OF=BF， AE=AF， ACEF，EOF=EDC=90， EC=EC，EO=ED，ECDECO，,举一反三,DC=OC=OA，AC=2CD，DAC=30， EFAC，OC=OA， EA=EC， EAC=ECA=30，DEC=60，ECD=30， 在RtEDC中，EC=AE=12，ECD=30， AD=18， S矩形ABCD,失误防范,矩形的性质： 对边平行且相等； 四个角为直角； 对角线互相平分且相等； 中心对称图形、轴对称图形.,例7.如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC,设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F. （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位 置时，四边形AECF是矩形？并说明理由,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：MN交ACB的平分线于点E， 交ACB的外角平分线于点F， 2=5，4=6， MNBC， 1=5，3=6， 1=2，3=4， EO=CO，FO=CO， OE=OF； （2）2=5，4=6， 2+4=5+6=90， CE=12，CF=5， EF= =13， OC= EF=6.5；,解题技巧,（3）当点O在边AC上运动到AC中点时， 四边形AECF是矩形 理由如下：由（1）知OE=OF， 当点O移动到AC中点时有OA=OC, 四边形AECF为平行四边形， 又ECF=90， 四边形AECF为矩形,举一反三,如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交ACB、外角ACD的平分线于点E、F （1）若CE=8，CF=6，求OC的长； （2）连接AE、AF问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由,举一反三,思路分析:（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出OEC=OCE，OFC=OCF，证出OE=OC=OF，ECF=90，由勾股定理求出EF，即可得出答案； （2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可,答案：（1）证明：EF交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F， OCE=BCE，OCF=DCF， MNBC，OEC=BCE，OFC=DCF，OEC=OCE，OFC=OCF， OE=OC，OF=OC，OE=OF； OCE+BCE+OCF+DCF=180，ECF=90， 在RtCEF中，由勾股定理得： OC=OE= EF=5； （2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形理由如下： 连接AE、AF，如图所示： 当O为AC的中点时，AO=CO， EO=FO，四边形AECF是平行四边形， ECF=90，平行四边形AECF是矩形,失误防范,1. 矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）.,失误防范,2.平行四边形中常用辅助线的添法：,平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下: (1)连对角线或平移对角线: (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形；,失误防范,(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线； (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形； (5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.,
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