2019-2020年高三3月综合测试数学试题 Word版含解析.doc

2019-2020 年高三 3 月综合测试数学试题 Word 版含解析 一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设复数为虚数单位,若为实数,则的值为 【答案】2 【解析】 试题分析：为实数,所以 考点：复数概念，复数运算 2.已知集合， ，且，则实数的值是 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得： ，解得2,1,32,3,1aaaa或 考点：集合包含关系 3.某林场有树苗 3000 棵，其中松树苗 400 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方 法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的棵数为 【答案】20 【解析】 试题分析：松树苗的棵数为 考点：分层抽样 4.在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 【答案】 【解析】 试题分析：当时，点为边三等分点 M（靠近 B 点） ，所以的概率是 考点：几何概型概率 5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 【答案】 【解析】 试题分析：双曲线的渐近线方程为，所以 考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线 6.右图是一个算法流程图，则输出的值是 【答案】25 【解析】 试题分析：第一次循环： ，第二次循环： ，第三次循环： ，第四次循环： ，第五次循环： ，结束循环，输出 考点：循环结构流程图 7.函数的定义域为 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得，所以定义域为 考点：函数定义域 8.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为 【答案】 【解析】 试题分析：三棱锥的高为，体积为 考点：三棱锥的体积 9.在中，已知， ，且的面积为，则边长为 【答案】7 【解析】 试题分析：由题意得 ，由余弦定理得 153sin153,542bcAcb22cos90()49,7.abAa 考点：余弦定理，三角形面积 10.已知函数，则不等式的解集为 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以 ，即解集为(2)(121fxfxx 考点：利用函数性质解不等式 11.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得：,所以，即，又，所以，即单调增区间为 考点：三角函数性质 12.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 【答案】129 【解析】 试题分析：由题意得： ，由得，所以 23452=+1(),2aqq舍 考点：等比数列性质 13.在平面四边形中，已知， ，点分别在边上，且， 若向量与的夹角为，则的值为 【答案】7 【解析】 试题分析：因为，所以，从而 12932273ABDCABEF 考点：向量数量积 14.在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 【答案】18 【解析】 试题分析：由题意得：，所以，其图像为一个正方形，四个顶点分别为, 而表示到原点距离 的平方，所以的最大值为 考点：线性规划求最值 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分 14 分)已知向量， (1)若，求的值； (2)若， ，求的值 【答案】(1) (2) 【解析】 试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：，再代入式子化简即可： (2)先由得，化简得， 再根据平方关系解得，所以 223472sin()(sinco)()4510 试题解析： （2）由可得， ， 即， 10 分 又，且 ，由 可解得， ，12 分 所以 14 分 223472sin()(sinco)()4510 考点：向量垂直，同角三角函数关系 16.(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点 (1)求证：/平面； (2)若平面平面， ，求证： 【答案】(1) 详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质 得到 ，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过 点作，则平面,从而，又，从而平面,因此 试题解析：（1）在中， 、分别是、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面6 分 （2）在平面内过点作，垂足为 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面,8 分 又平面，所以，10 分 考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理 17.(本小题满分 14 分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为 圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度） （1）求关于的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线 部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式， 并求出为何值时，取得最大值？ 【答案】(1) (2) 【解析】 试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用与表示后，利用其和为 30 列式，再 解出即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用与表示，再利用第（1）问的结果消去， 从而可得到关于函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定取最小值时的值. 试题解析：(1)设扇环的圆心角为，则， 所以，4 分 (2) 花坛的面积为 7 分 2 21(0)(5)1050,(1)xxx 装饰总费用为， 9 分 所以花坛的面积与装饰总费用的比， 11 分 令，则，当且仅当 t=18 时取等号，此时 答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大14 分 (注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用. 18.(本小题满分 16 分) 已知的三个顶点， ， ，其外接圆为 (1)若直线过点，且被截得的弦长为 2，求直线的方程； (2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中 点，求的半径的取值范围 【答案】(1) 或 (2) 【解析】 试题分析：（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心， 再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此 时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用 其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三 点不能重合，即圆和线段无公共点. 试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半 径，的方程为4 分 设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为 2，所以 当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；6 分 当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得， 综上，直线的方程为或 8 分 (2) 直线的方程为，设， 因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上， 所以即10 分 因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以 ， 12 分 2222()(36)(4)()rmnr 又，所以对成立 而在上的值域为，10，故且 15 分 又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为 16 分 考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系. 19.(本小题满分 16 分)已知函数（为常数） ，其图象是曲线 （1）当时，求函数的单调减区间； （2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的 切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不 存在，请说明理由 【答案】 （1） ；（2） ；（3）当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使. 【解析】 (3) 设，则点处切线方程为， 与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标 12 分 由题意知， ， ， 若存在常数，使得，则， 即常数，使得， 所以常数，使得解得常数，使得， 15 分 故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使16 分 考点：函数与方程、导数的综合应用. 20.（本小题满分 16 分） 已知数列满足， ， ，是数列 的前项和 (1)若数列为等差数列 （）求数列的通项； （）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围 【答案】 （1） （） ；（）详见解析；（2） 【解析】 试题分析：（1） （）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数 列求出的值，最后可求出的通项公式， （）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号 和和 1 的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关 系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围 试题解析：(1)（）因为，所以， 即，又，所以， 2 分 又因为数列成等差数列，所以，即，解得， 所以 ； 4 分1121*nadnnN （）因为，所以，其前项和， 又因为， 5 分 所以其前项和，所以， 7 分 当或时， ；当或时， ； 当时， 9 分 （2）由知， 两式作差，得， 10 分 所以, 再作差得，11 分 所以，当时， ； 当时， ；.312636234nkaxknx 当时， ；. 14998k 当时， ；14 分.3146627nkaxknx 因为对任意，恒成立，所以且， 所以，解得， ， 故实数的取值范围为16 分 考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用. 附加题 21.B(选修 42：矩阵与变换)（本小题满分 10 分） 设矩阵（其中） ，若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值 【答案】3 【解析】 试题分析：本题可先求出曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线的方程再与方程加以比较 得出的值，也可在曲线上取两特殊点经阵所对应的变换作用下得到点在曲线上，代入方程， 求出的值. 试题解析：设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点， 则，即 5 分 又点在曲线上，所以，则为曲线的方程 又曲线的方程为，故， ， 因为，所以 10 分 考点：矩阵与变换. 21.C(选修 44：坐标系与参数方程)（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数） ；以 为极点，轴正半轴为极轴 的极坐标系中，圆的极坐标方程为由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值 【答案】 【解析】 试题分析：先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入， 化为求函数的最值问题，也可将直线的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心 到直线上最小值的问题 试题解析：因为圆的极坐标方程为，所以， 所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为 1,4 分 因为直线的参数方程为（为参数） ， 所以直线上的点向圆 C 引切线长是 ， 2222 4146ttPCR t 所以直线上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 10 分 考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长. 22.（本小题满分 10 分） 某品牌汽车 4 店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有，4，3 款不同车 型某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能 (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为种排量汽车的概率； (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望 【答案】 （1） ；（2）详见解析 【解析】 试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求 出从 15 款 车型中任买 3 辆共有多少种可能，再求出购买 3 辆车都为 B 种车有多少种可能，即可求出结 果；（2）的所有可能取值为 1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可 能，就可求出各种取值的概率，然后再求数学期望. 试题解析：(1)设该单位购买的 3 辆汽车均为种排量汽车为事件，则 所以该单位购买的 3 辆汽车均为种排量汽车的概率为 4 分 (2)随机变量的所有可能取值为 1，2，3. 则， 所以的分布列为 8 分 数学期望10 分 考点：随机变量的概率分布. 23.（本小题满分 10 分） 已知点， ，动点满足 (1)求动点的轨迹的方程； (2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为问：是否存在点，使得直 线/？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） ；（2） 考点：曲线与方程.