边缘分布与独立性.ppt

FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,2.4.二维随机变量的独立性,FX(x)F (x, +) PXx,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是二维随机变量的某个低维分量的分布。,1、边缘分布函数(marginal distribution function),例1.已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,2、边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为 (p80) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称 PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律；,PY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。,例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 XY 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10,解： XY 1 0 pX=xi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 pY=yi,故关于X和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5,2/5,3/5,2/5,3/5,3、二维连续型随机变量的边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称,为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称,设(X,Y)服从如图区域 上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度,例3,性质 若,证明 令,则,即为正态分布的密度函数，所以,同理可证：,EX .设(X,Y)的概率密度为,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,解:(1)由归一性,4、随机变量的相互独立性,定义 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有 PaXb,cYd=PaXbPcYd 即事件aXb与事件cYd独立，则称随机变量X与Y独立。,定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 或f(x,y)=f(x)f(y),例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立，求a、b的值。 解:由归一性,由独立性,讨论X ,Y 是否独立？,例5 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为,由图知边缘 d.f. 为,显然，,故 X ,Y 不独立,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度,x=y,x=-y,EX1,设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,EX2,算出罪犯的身高. 这个公式是,公安人员根据收集到的 罪犯脚印，通过公式,由脚印估计罪犯身高,如何推导出来的?,显然，两者之间是有统计关系的，故,设一个人身高为 ,脚印长度为 .,由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故,应作为二维随机变量 来研究.,由中心极限定理知 可以近似看,成服从二维正态分布,其中参数 因区域、,民族、生活习惯的不同而有所变化 ，,但它们都能通过统计方法而获得.,密度为,现已知罪犯的脚印长度为 , 要,估计其身高就需计算条件期望 , 条件,的密度函数, 因此,这正是正态分布,如果按中国人的相应参数代入上式，即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式.,