《21.2降次——解一元二次方程》同步练习含答案解析.doc

21.2 降次解一元二次方程一、选择题（共13小题）1一元二次方程x24x+5=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根2下列关于x的方程有实数根的是（）Ax2x+1=0Bx2+x+1=0C（x1）（x+2）=0D（x1）2+1=03关于x的一元二次方程x23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）ABCD4有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（）A如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15方程x22x+3=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根B只有一个实数根C没有实数根D有两个不相等的实数根6一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A没有实数根B只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根7已知一元二次方程2x25x+3=0，则该方程根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C两个根都是自然数D无实数根8若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）Aa1Ba4Ca1Da19下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）Ax28=0B2x24x+3=0C9x2+6x+1=0D5x+2=3x210一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定11下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）Ax22x+1=0B2x2x+1=0C4x22x3=0Dx26x=012若a满足不等式组，则关于x的方程（a2）x2（2a1）x+a+=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D以上三种情况都有可能13下列方程中，没有实数根的是（）Ax24x+4=0Bx22x+5=0Cx22x=0Dx22x3=0二、填空题（共12小题）14若关于x的一元二次方程x23x+m=0有两个相等的实数根，则m=_15若关于x的一元二次方程x2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是_（写出一个即可）16关于x的方程mx2+xm+1=0，有以下三个结论：当m=0时，方程只有一个实数解；当m0时，方程有两个不等的实数解；无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是_（填序号）17关于x的方程x2+2xm=0有两个相等的实数根，则m=_18若关于x的一元二次方程ax2+3x1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_19关于x的一元二次方程x2x+m=O没有实数根，则m的取值范围是_20已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_21关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=_，b=_22已知关于x的方程x22x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是_23若一元二次方程（m1）x24x5=0没有实数根，则m的取值范围是_24关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是_25已知关于x的一元二次方程x22xk=0有两个相等的实数根，则k值为_三、解答题（共5小题）26已知关于x的一元二次方程x24x+m=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值27已知：关于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值28已知关于x的一元二次方程（x3）（x2）=|m|（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根29已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根30已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m1=0有两个相等的实数根（1）求m的值；（2）解原方程21.2 降次解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1一元二次方程x24x+5=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根【考点】根的判别式【分析】把a=1，b=4，c=5代入=b24ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况【解答】解：a=1，b=4，c=5，=b24ac=（4）2415=40，所以原方程没有实数根故选：D【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根2下列关于x的方程有实数根的是（）Ax2x+1=0Bx2+x+1=0C（x1）（x+2）=0D（x1）2+1=0【考点】根的判别式【专题】计算题【分析】分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断【解答】解：A、=（1）2411=30，方程没有实数根，所以A选项错误；B、=12411=30，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x1=0或x+2=0，则x1=1，x2=2，所以C选项正确；D、（x1）2=1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误故选：C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根3关于x的一元二次方程x23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）ABCD【考点】根的判别式【专题】判别式法【分析】先根据判别式的意义得到=（3）24m0，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得=（3）24m0，解得m故选：B【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根4有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（）A如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系【专题】压轴题【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么=b24ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么=b24ac0，0，所以a与c符号相同，0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=1，结论错误，符合题意；故选：D【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义5方程x22x+3=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根B只有一个实数根C没有实数根D有两个不相等的实数根【考点】根的判别式【分析】把a=1，b=2，c=3代入=b24ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况【解答】解：a=1，b=2，c=3，=b24ac=（2）2413=80，所以方程没有实数根故选C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的判别式=b24ac当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根6一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A没有实数根B只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根【考点】根的判别式【分析】先求出的值，再判断出其符号即可【解答】解：原方程可化为：4x24x+1=0，=42441=0，方程有两个相等的实数根故选C【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与的关系是解答此题的关键7已知一元二次方程2x25x+3=0，则该方程根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C两个根都是自然数D无实数根【考点】根的判别式【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号就可以了【解答】解：a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）2423=10，方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根，是解决问题的关键8若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）Aa1Ba4Ca1Da1【考点】根的判别式【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以=b24ac=44a0，解之得a1故选C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根9下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）Ax28=0B2x24x+3=0C9x2+6x+1=0D5x+2=3x2【考点】根的判别式【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况【解答】解：A、x28=0，这里a=1，b=0，c=8，=b24ac=0241（8）=320，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、2x24x+3=0，这里a=2，b=4，c=3，=b24ac=（4）2423=80，方程没有实数根，故本选项错误；C、9x2+6x+1=0，这里a=9，b=6，c=1，=b24ac=62491=0，方程有两个相等的实数根，故本选项正确；D、5x+2=3x2，3x25x2=0，这里a=3，b=5，c=2，=b24ac=（5）243（2）=490，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根10一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定【考点】根的判别式【分析】先求出的值，再判断出其符号即可【解答】解：=32421=10，方程有两个不相等的实数根故选A【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与的关系是解答此题的关键11下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）Ax22x+1=0B2x2x+1=0C4x22x3=0Dx26x=0【考点】根的判别式【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可【解答】解：A、=44=0，方程x22x+1=0有两个相等实数根；B、=1420，方程2x2x+1=0无实数根；C、=4+443=520，方程4x22x3=0有两个不相等实数根；D、=360，方程x26x=0有两个不相等实数根；故选A【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根12若a满足不等式组，则关于x的方程（a2）x2（2a1）x+a+=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D以上三种情况都有可能【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根【解答】解：解不等式组得a3，=（2a1）24（a2）（a+）=2a+5，a3，=2a+50，方程（a2）x2（2a1）x+a+=0没有实数根，故选C【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根13下列方程中，没有实数根的是（）Ax24x+4=0Bx22x+5=0Cx22x=0Dx22x3=0【考点】根的判别式【分析】利用判别式分别判定即可得出答案【解答】解：A、x24x+4=0，=1616=0有相同的根；B、x22x+5=0，=4200没有实数根；C、x22x=0，=400有两个不等实数根；D、x22x3=0，=4+120有两个不等实数根故选：B【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式二、填空题（共12小题）14若关于x的一元二次方程x23x+m=0有两个相等的实数根，则m=【考点】根的判别式【分析】根据题意可得=0，据此求解即可【解答】解：方程x23x+m=0有两个相等的实数根，=94m=0，解得：m=故答案为：【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当=0时，方程有两个相等的两个实数根15若关于x的一元二次方程x2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0（写出一个即可）【考点】根的判别式【专题】开放型【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围【解答】解：一元二次方程x2x+m=0有两个不相等的实数根，=14m0，解得m，故m的值可能是0，故答案为0【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的判别式=b24ac当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根注意本题答案不唯一，只需满足m即可16关于x的方程mx2+xm+1=0，有以下三个结论：当m=0时，方程只有一个实数解；当m0时，方程有两个不等的实数解；无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）【考点】根的判别式；一元一次方程的解【专题】分类讨论【分析】分别讨论m=0和m0时方程mx2+xm+1=0根的情况，进而填空【解答】解：当m=0时，x=1，方程只有一个解，正确；当m0时，方程mx2+xm+1=0是一元二次方程，=14m（1m）=14m+4m2=（2m1）20，方程有两个实数解，错误；把mx2+xm+1=0分解为（x+1）（mxm+1）=0，当x=1时，m1m+1=0，即x=1是方程mx2+xm+1=0的根，正确；故答案为【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想17关于x的方程x2+2xm=0有两个相等的实数根，则m=1【考点】根的判别式【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可【解答】解：关于x的方程x2+2xm=0有两个相等的实数根，=0，2241（m）=0，解得m=1故答案为；1【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根18若关于x的一元二次方程ax2+3x1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a且a0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a0且=b24ac=324a（1）=9+4a0，解不等式组即可求出a的取值范围【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+3x1=0有两个不相等的实数根，a0且=b24ac=324a（1）=9+4a0，解得：a且a0故答案为：a且a0【点评】此题考查了根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根同时考查了一元二次方程的定义19关于x的一元二次方程x2x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m【考点】根的判别式【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围【解答】解：根据方程没有实数根，得到=b24ac=14m0，解得：m故答案为：m【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根20已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m1【考点】根的判别式【专题】探究型【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，方程有实数根，=224m0，解得m1故答案为：m1【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键21关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=4，b=2【考点】根的判别式【专题】开放型【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，=b24a=b2a=0，a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件故答案为：4，2【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键22已知关于x的方程x22x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是a1【考点】根的判别式【专题】计算题【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围【解答】解：方程x22x+a=0有两个实数根，=44a0，解得：a1，故答案为：a1【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键23若一元二次方程（m1）x24x5=0没有实数根，则m的取值范围是m【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】据关于x的一元二次方程（m1）x24x5=0没有实数根，得出=164（m1）（5）0，从而求出m的取值范围【解答】解：一元二次方程（m1）x24x5=0没有实数根，=164（m1）（5）0，且m10，m故答案为：m【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根24关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是a0【考点】根的判别式【专题】计算题【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可【解答】解：方程x2+a=0没有实数根，=4a0，解得：a0，故答案为：a0【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键25已知关于x的一元二次方程x22xk=0有两个相等的实数根，则k值为3【考点】根的判别式【分析】因为方程有两个相等的实数根，则=（2）2+4k=0，解关于k的方程即可【解答】解：关于x的一元二次方程x22xk=0有两个相等的实数根，=0，即（2）24（k）=12+4k=0，解得k=3故答案为：3【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根三、解答题（共5小题）26已知关于x的一元二次方程x24x+m=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值【考点】根的判别式；根与系数的关系【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=4，又5x1+2x2=2求出函数实数根，代入m=x1x2，即可得到结果【解答】解：（1）方程有实数根，=（4）24m=164m0，m4；（2）x1+x2=4，5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=24+3x1=2，x1=2，把x1=2代入x24x+m=0得：（2）24（2）+m=0，解得：m=12【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程根与系数的关系27已知：关于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值【考点】根的判别式；一元二次方程的解【分析】（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m21，=b24ac=（2m）241（m21）=40，方程x2+2mx+m21=0有两个不相等的实数根；（2）x2+2mx+m21=0有一个根是3，32+2m3+m21=0，解得，m=4或m=2【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解即用这个数代替未知数所得式子仍然成立28已知关于x的一元二次方程（x3）（x2）=|m|（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明0即可；（2）将x=1代入方程（x3）（x2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解【解答】（1）证明：（x3）（x2）=|m|，x25x+6|m|=0，=（5）24（6|m|）=1+4|m|，而|m|0，0，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：方程的一个根是1，|m|=2，解得：m=2，原方程为：x25x+4=0，解得：x1=1，x2=4即m的值为2，方程的另一个根是4【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根同时考查了一元二次方程的解的定义29已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法【专题】证明题【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值【解答】（1）证明：=（m+2）28m=m24m+4=（m2）2，不论m为何值时，（m2）20，0，方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，方程有两个不相等的正整数根，m=1或2，m=2不合题意，m=1【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根是解题的关键30已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m1=0有两个相等的实数根（1）求m的值；（2）解原方程【考点】根的判别式【分析】（1）根据题意得到：=0，由此列出关于m的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程【解答】解：（1）关于x的一元二次方程mx2+mx+m1=0有两个相等的实数根，=m24m（m1）=0，且m0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x1=x2=1【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根第20页（共20页）