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课时提升作业(十一)椭圆及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014南充高二检测)设P是椭圆x225+y216=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10【解析】选D.由椭圆的方程x225+y216=1得2a=10.所以|PF1|+|PF2|=2a=10.2.(2014广州高二检测)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.3.已知椭圆x2a2+y22=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是()A.x24+y22=1B.x23+y22=1C.x2+y22=1D.x26+y22=1【解析】选D.由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为x26+y22=1,故选D.4.(2014济宁高二检测)已知点P是椭圆:x216+y28=1(x0,y0)上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是F1PF2的角平分线上一点,且F1MMP=0,则|OM|的取值范围是()A.0,3)B.(0,22)C.22,3)D.0,4【解析】选B.由椭圆x216+y28=1的方程可得,c=22.由题意可得,当点P在椭圆与y轴交点处时,点M与原点O重合,此时|OM|取最小值0.当点P在椭圆与x轴交点处时,点M与焦点重合,此时|OM|趋于最大值c=22.因x0,y0,所以|OM|的取值范围是(0,22).5.(2014南昌高二检测)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且b=25的椭圆方程是 ()A.x225+y220=1B.x280+y285=1C.x220+y245=1D.x220+y225=1【解析】选D.由9x2+4y2=36,得x24+y29=1,所以a12=9,b12=4,得c1=5,所以焦点坐标为(0,5),(0,-5).因为所求椭圆与9x2+4y2=36有相同焦点,设方程为y2a2+x2b2=1,则a2=b2+c2=(25)2+(5)2=25,所以所求方程为y225+x220=1.【一解多解】由9x2+4y2=36,得y29+x24=1,设与9x2+4y2=36共焦点的椭圆的方程为:y29+k+x24+k=1.由4+k=(25)2,得k=16.所以所求椭圆方程为y225+x220=1.6.已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且MF1MF2=0,则点M到x轴的距离为()A.233B.263C.33D.3【解题指南】由MF1MF2=0知MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选C.由MF1MF2=0,得MF1MF2,可设|MF1|=m,|MF2|=n,在F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以SF1MF2=12mn=1,设点M到x轴的距离为h,则12|F1F2|h=1,又|F1F2|=23,故h=33,故选C.二、填空题(每小题4分,共12分)7.设P是椭圆x216+y29=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=822=16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”号,故|PF1|PF2|的最大值是16.答案:168.(2014双鸭山高二检测)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,则b=_【解析】因为PF1PF2,所以PF1PF2,因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=|F1F2|2,所以(2a)2-2|PF1|PF2|=(2c)2,因此|PF1|PF2|=2b2.由SPF1F2=12|PF1|PF2|=b2=9,所以b=3.答案:3【变式训练】(2013德州高二检测)若F1,F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且F1AF2=45,则AF1F2的面积为_.【解析】如图所示,|F1F2|=22,|AF1|+|AF2|=6,由|AF1|+|AF2|=6,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1|AF2|=36.又在AF1F2中,|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=2|AF1|AF2|cos45,所以36-2|AF1|AF2|-8=2|AF1|AF2|,所以|AF1|AF2|=282+2=14(2-2),所以SAF1F2=12|AF1|AF2|sin45=1214(2-2)22=7(2-1).答案:7(2-1)9.(2014哈尔滨高二检测)已知椭圆x25+y2=1的焦点为F1,F2,设P(x0,y0)为椭圆上一点,当F1PF2为直角时,点P的横坐标x0=.【解析】由椭圆的方程为x25+y2=1,得c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),PF1=(-2-x0,-y0),PF2=(2-x0,-y0).因为F1PF2为直角,所以PF1PF2=0,即x02+y02=4,又x025+y02=1,联立消去y02得x02=154,所以x0=152.答案:152【举一反三】若把条件“当F1PF2为直角时”改为|PF1|=5+3,则F1PF2=.【解析】由椭圆的方程为x25+y2=1,得2a=25,2c=4,因为|PF1|+|PF2|=2a=25,所以|PF2|=5-3,而|PF1|2+|PF2|2=(5+3)2+(5-3)2=16=|F1F2|2,所以F1PF2为直角.答案:90三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014石家庄高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上投影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=45|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上投影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|,所以xP=x,且yP=54y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+54y2=25,整理得x225+y216=1,即C的方程是x225+y216=1.11.已知点P(6,8)是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1PF2=0.试求(1)椭圆的方程.(2)求sinPF1F2的值.【解析】(1)因为PF1PF2=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|=(6+10)2+82+(6-10)2+82=125,所以a=65,b2=80.所以椭圆方程为x2180+y280=1.(2)因为PF1PF2,所以SPF1F2=12|PF1|PF2|=12|F1F2|yP=80,所以|PF1|PF2|=160,又|PF1|+|PF2|=125,所以|PF2|=45,所以sinPF1F2=|PF2|F1F2|=4520=55.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014齐齐哈尔高二检测)对于常数m,n,“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m0且n0,但方程mx2+ny2=1不表示椭圆;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时,有m0,n0,mn,能得出mn0,故选B.2.(2014太原高二检测)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1【解析】选C.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,令x=c,则y=b2a,由|AB|=3,得2b2a=3,又a2-b2=c2=1,联立得a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为x24+y23=1.3.(2014福州高二检测)椭圆x225+y29=1上一点A到焦点F的距离为2,B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为()A.8B.4C.2D.32【解析】选B.如图,设椭圆的另一个焦点为F,则|AF|+|AF|=10,又|AF|=2,所以|AF|=8.因为B为AF的中点,O为FF的中点,所以|OB|=12|AF|=4.4.(2014唐山高二检测)已知椭圆C:x22+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点Al,线段AF交C于点B,若FA=3FB,则|AF|=()A.3B.2C.2D.3【解析】选C.设A(2,y0),B(x1,y1),FA=(1,y0),FB=(x1-1,y1),由FA=3FB,即(1,y0)=3(x1-1,y1),所以x1=43,y1=y03,又点B在椭圆C上,所以4322+y032=1,解得y0=1,所以A点坐标为(2,1),所以|AF|=(2-1)2+(1-0)2=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014衡水高二检测)已知F1,F2分别为椭圆x216+y29=1的两个焦点,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,则PF1F2的面积为_.【解题指南】分别讨论以F1,F2,P为直角顶点,求出点P的坐标,进而求出PF1F2的面积.【解析】依题意,可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时,点P的坐标为7,94,则点P到x轴的距离为94,此时PF1F2的面积为974;当以点P为三角形的直角顶点时,点P的纵坐标的绝对值为9773,舍去.故PF1F2的面积为974.答案:974【误区警示】本题在讨论以P点为三角形的直角顶点时,求出P点的纵坐标为977,而忽视P点在椭圆上,应满足yP3的限制,而得出面积为9的错误结论.【变式训练】(2014温州高二检测)已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则PF1F2的面积是_.【解析】由已知得|F1F2|=2c=22,|PF1|+|PF2|=4,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以PF1F2是直角三角形,所以SPF1F2=12|F1F2|PF2|=2.答案:26.(2014济南高二检测)若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1b10)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出如下四个结论:椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;a1a2b1b2;a12-a22=b12-b22;a1-a2a2,所以b1b2,所以正确;又a12-a22=b12-b22,a1b10,a2b20,所以正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014天津高二检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1F1F2,|EF1|=43,|EF2|=143,求椭圆C的方程.【解析】因为点E在椭圆C上,所以2a=|EF1|+|EF2|=43+143=6,即a=3.在RtEF1F2中,|F1F2|=|EF2|2-|EF1|2=20=25,所以椭圆C的半焦距c=5.因为b=a2-c2=9-5=2,所以椭圆C的方程为x29+y24=1.8.(2014南京高二检测)设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的两焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且BF1=CF1,求的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=3,即|F1F2|=23,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=422=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|PF2|的最大值为4,即|PF1|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-3,0),由BF1=CF1得x0=3(1-),y0=-1.又x024+y02=1,所以有2+6-7=0,解得=-7或=1,又BF1与CF1方向相反,故=1舍去.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|4+|BF2|,所以PBF1的周长4+|BF2|+|BF1|8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,PBF1周长最大,最大值为8.
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