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9.6 空间向量的夹角和距离公式,莱州市第十三中学 孙兴文,一、向量的直角坐标运算,在空间直角坐标系中,已知 、 ,则,二、距离与夹角 (1)空间两点间的距离公式,(2).两个向量夹角公式,注意: (1)当 时, 同向; (2)当 时, 反向; (3)当 时, 。,思考:当 及 时, 的夹角在什么范围内?,练习一:,1.求下列两个向量的夹角的余弦:,2.求下列两点间的距离:,三、应用举例,例1 已知 、 ,求: 线段 的中点坐标和长度;,解:设 是 的中点,则,点 的坐标是 .,例2 如图,在正方体 中, ,求 与 所成的角的余弦值。,解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 ,则,例2 如图,在正方体 中, ,求 与 所成的角的余弦值。,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是C1A, D1 A1的中点,1)求cos. 2)求点A到直线EF的距离。(用向量法),课堂练习:,解:,课堂练习:,解:,课堂练习:,思路二:,课堂练习:,四、课堂小结:,1.基本知识:,(1)向量的长度公式与两点间的距离公式;,(2)两个向量的夹角公式。,2.思想方法:用向量计算或证明几何问题 时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐 标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。,作业与练习,P74:1、2、4,
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