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2019/11/30,高等数学课件,第九章,第五节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极 值,2019/11/30,高等数学课件,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明参见 二元泰勒中值定理一节 .,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上有连续偏导数,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,区域内的极值点,边界上的极值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,例3.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体,水箱，问长、宽、高为何尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,为,水箱所用材料最省。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则水箱,高,时,2019/11/30,高等数学课件,例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,三、条件极值,极值问题,自 由 极 值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定显函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,例5. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,，对应的面积为：,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,例6.,求原点到曲线,解: 目标函数：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,约束：曲线,为方便起见，改写目标函数为,的最大最小距离。,作Lagrange函数：,上式分别对,求导，然后可解出,由此得,2019/11/30,高等数学课件,例7.,Cobb-Douglas生产函数模型,解: 假设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,每个劳动力成本150元，,x 劳动力数量，,y 资本数量，,a、c 常数，f 产量。,每单位资本的成本250元，,如果,总预算为50000元，,如何分配才能使产量最大？,目标函数,约束,作Lagrange函数：,对x, y,求导，得,2019/11/30,高等数学课件,例7.,Cobb-Douglas生产函数模型,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x 劳动力数量，,y 资本数量，,a、c 常数，f 产量。,即雇佣250人其余做资本可获得最大产量16719.,化简,式解得,代入式得：,代入解得,2019/11/30,高等数学课件,例8.,求函数,上的最大、,解: 求解此题要分两部分。,在区域：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）求三角形内部的自由极值：,解方程组,得,驻点为,在该驻点函数取值为,最小值。,2019/11/30,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）求三角形边界上的条件极值：,第一条边界,第二条边界,第三条边界,2019/11/30,高等数学课件,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,1.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,2019/11/30,高等数学课件,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,2019/11/30,高等数学课件,2.已知平面上两定点 A(1, 3), B(4, 2),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S 最值.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.驻点对应的面积最小。,点击图中任意点 动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/11/30,高等数学课件,为边的面积,最大的四边形,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,3 求平面上以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,和约束条件 ?,试列出其目标函数,
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