定积分在几何学上的应用.ppt

,四、 旋转体的侧面积 (补充),二、体积,第二节,一、 平面图形的面积,三、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.直角坐标系情形,一、 平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处 播放开始或暂停,到2 所围图形面积 .,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,心形线(外摆线的一种),即,点击图中任意点 动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,例. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1.旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,例. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,解,星形线,星形线是内摆线的一种.,点击图片任意处 播放开始或暂停,大圆半径 Ra,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线),解,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),补充,利用这个公式，可知上例中,例 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,(94 考研),解: 利用对称性 ,故旋转体体积为,在第一象限,例 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,解,体积元素为,2、已知平行截面面积函数的立体体积,设定轴为x轴，所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,三、平面曲线弧长,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,并称此曲线弧为可求长的.,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,曲线弧为,弧长,3.、极坐标情形,解,所求弧长为,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,例15. 摆线,一拱,的弧长 .,解:,解,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,解,例. 求连续曲线段,解:,的弧长.,解,例. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .,求这一段弧长 .,解:,下垂,悬链线方程为,四、旋转体的侧面积 (补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .,取侧面积元素:,侧面积元素,的线性主部 .,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,注意:,侧面积为,例. 计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .,解: 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式,例. 求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S .,解: 利用对称性,绕 x 轴旋转,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,五、小结,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,4. 旋转体的侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下 ds 的表达式),绕 y 轴 :,(柱壳法),思考题1,思考题1解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,思考题2,解答,交点,立体体积,思考题3,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,解答,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .,提示: 交点为,弧线段部分,直线段部分,以 x 为积分变量 , 则要分,两段积分,故以 y 为积分变量.,2. 试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积 :,提示:,方法1 利用对称性,旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .,方法2 用柱壳法,说明: 上式可变形为,此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).,求侧面积 :,利用对称性,上式也可写成,它也反映了环面微元的另一种取法.,练 习 题1,练习题1答案,练 习 题2,练习题2答案,练 习 题3,练习题3答案,备用题,解：,1. 求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,分析曲线特点,2.,解:,与 x 轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,3.,求曲线,图形的公共部分的面积 .,解：,与,所围成,得,所围区域的面积为,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,4.,若选 y 为积分变量, 则,