2019-2020年高中数学 1.4生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2.doc

2019-2020年高中数学 1.4生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2教学建议1.教材分析本节通过一些具体的问题,让学生先了解问题的背景,结合生活经验,给出问题的答案.让学生体会数学建模的过程,培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力.培养学生应用数学的意识.本节的重点是求解优化问题的思路和方法.2.主要问题及教学建议(1)优化问题.建议教师利用具体的实例,向学生介绍何为优化问题和解决这些问题的方法和措施,明确导数是求函数最大(小)值的强有力的工具.(2)优化问题中的定义域问题.建议教师通过具体的实例,引起学生注意所建立的函数模型中的函数的定义域问题,并引导学生根据实际情况确定函数的定义域.明确具体的实例中,函数模型中的函数的定义域应根据具体问题来确定.备选习题1.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为xx(0,0.048),则存款利率为()时,银行可获得最大收益. A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036解析:由题意,存款量g(x)=kx(k0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y=0.048k-2kx,令y=0,解得x=0.024,依题意知y在x=0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.答案:B2.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的长和宽分别为.解析:设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y),其中0x0,则在抛物线上的另一个顶点为(-x,y),在x轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).设矩形的面积为S,则S=2x(4-x2)(0x2),则S=8-6x2.令S=0,得x=或x=-(舍去).当0x0;当x2时,S0.因此,当x=时,S取得极大值,也就是最大值,此时,2x=,4-x2=.所以矩形的长和宽分别为时,矩形的面积最大.答案:3.如图所示,设铁路AB=50,B,C之间距离为10,现将货物从A运往C,已知单位距离铁路费用为2,单位距离公路费用为4,问在AB上何处修筑公路至C,能使运费由A到C最省?解:在AB上点M处修筑公路至C,设MB=x,于是AM上的运费为2(50-x),MC上的运费为4,则由A到C的总运费为P(x)=2(50-x)+4(0x50),P(x)=-2+,令P(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x时,P(x)时,P(x)0,所以当x=时,P(x)取得最小值.故当在离B点距离为的点M处筑公路至C时,能使由A到C的货物运费最省.4.某地需要修建一条大型输油管道通过120千米宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x3+x)万元,设余下的工程费用为y万元.(1)试将y表示为x的函数;(2)需要修建多少个增压站才能使y最小?解:(1)设需要修建k个增压站,则(k+1)x=120,即k=-1.所以y=432k+(k+1)(x3+x)=432(x3+x)=+120x2-312.因为x表示相邻两增压站之间的距离,则0x120.故y与x之间的函数关系式为y=+120x2-312(0x120).(2)y=-+240x,由y=0得x=6.并且当x(0,6)时,y0,函数递增.所以当x=6时,y最小,此时k=-1=19.所以需要修建19个增压站才能使y最小.