2013年重庆一中高2013级高三下第三次月考试题及答案(理).doc

秘密启用前201年重庆一中高2013级高三下期第三次月考 数 学 试 题 卷（理科） 2013.5 数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集集合，则（ ）A. B. C. D. 2.向量，且，则锐角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 3.的展开式中，常数项等于（ ） A. 15 B. 10 C. D.4.在等差数列中每一项均不为0，若，则（ ） A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 20145.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的50人中，编号落入区间1，400的人做问卷A，编号落入区间401，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 156.在中，已知，那么一定是（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形7.若定义在R上的函数的导函数是，则函数 的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值。若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( ) A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个9 已知正数满足则的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 10过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若，且则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D.第卷（非选择题，共分)二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11.在复平面内，复数对应的点位于虚轴上，则 12.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_.13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3，9的9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有 种。考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14是圆O的直径，为圆O上一点，过作圆O的切线交延长线于点，若DC=2，BC=1，则 . 15.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，则（其中O为极点）的面积为 16 .若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置）17（本小题满分13分）已知向量，函数图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点。 （1）求函数的解析式 （2）当时，求函数的单调区间。18 （本小题满分13分）设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为。比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。 （1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率； （2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望。19 （本小题满分13分）已知函数，其中为自然对数的底数.（）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（）若函数存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为，求的值. （第20题）20 （本小题满分12分）如图，四边形ABCD中，为正三角形，AC与BD交于O点将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内（）求证：平面PBD；（）若时，求二面角的余弦值。21（本小题满分12分）中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点。若分别过椭圆的左右焦点、的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率、满足（第21题） （1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点M、N，使得为定值若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由22 （本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足：。（1）求的通项公式（2）当时，求证： 命题人：谢 凯 审题人：王 明2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考 数 学 答 案（理科） 2013.5一.选择题.(每小题5分,共50分)题号12345678910答案DDACABCCB B二.填空题.(每小题5分,共25分) 11.0 12. 13. 14. 15. 16.三.解答题.(共75分) 17.(13分)解：（1） ，由题意得周期故，又图象过点所以，即，而，故， 则： （2）当时，当时，即时，是减函数。 当时，即时，是增函数。 则函数的单调递减区间是，单调递增区间是 18.(13分)解：（1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束的概率为（2），的分布列为：234P19.(13分)解：（）， 当时，所以曲线在处的切线方程为切线与轴、轴的交点坐标分别为， 所以，所求面积为. （）因为函数存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程在内存在两个不等实根， . ，则 设为函数的极大值和极小值，则， 因为，所以， 即，解得，此时有两个极值点，所以.20.(12分)解：（1）取BD中点Q，则三点共线，即Q与O重合。 则面PBD （2）因为AC面PBD，而面ABCD，所以面ABCD面PBD，则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），所以PO与平面ABCD所成的角。以O为坐标原点，OA为轴，OB为轴建空间直角坐标系。，因为AC面PBD，所以面PBD的法向量，设面PAB的法向量，又，由，得 ，又，由，得 ， 在中令，可得，则所以二面角的余弦值 21.(12分)解：（1）设椭圆方程为，则由题意知，则，则椭圆方程为，代入点的坐标可得，所求椭圆方程为（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为，设，由得， ， ，同理， ，即又，设，则，即，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，点椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值22(12分)解：（1），猜测：。下用数学归纳法证明：当，猜想成立；假设当时猜想成立，即，由条件，两式相减得：，则当时，时，猜想也成立。故对一切的成立。（2），即证：对，令（），则，显然，所以，所以，在上单调递减由，得，即所以， 所以 得证。