2019-2020年高三上学期12月月考数学试卷含解析.doc

2019-2020年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若集合M=x|x2x0，函数f（x）=log2（1|x|）的定义域为N，则MN=2已知复数z=a+3i（i为虚数单位，a0），若z2是纯虚数，则a的值为3从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为4将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=4sin（2x）的图象，则f（）的值为5如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为6已知函数f（x）=，若f（x）=5，则x=7设：2x4，：m+1x2m+4，mR，如果是的充分非必要条件，则m的范围是8设Sn是等差数列an的前n项和若，则=9棱长为2的正四面体的体积为10若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为11设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0（1，2），使得f（x0）=f（x0）0，则不等式F（2x1）F（x）的解集为12在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x）2+（ya）2=1（a0）上只存在一点P到直线l：y=2x6的距离等于1，则实数a的值为13如图，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是14在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若B=，BC边上中线AM=，求ABC的面积16如图，斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，平面C1D1DC平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点求证：（1）ADCD1；（2）EF平面ADD1A117已知等差数列an的前n项和为Sn，且a4=5，S9=54（1）求数列an的通项公式与Sn；（2）若bn=，求数列bn的前n项和18如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处（）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记PBC=，求sin的值；（）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）19已知椭圆方程右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由20已知三次函数f（x）=4x3+ax2+bx+c（a，b，cR）（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；（2）当1x1时有1f（x）1，求a，b，c的所有可能的取值参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若集合M=x|x2x0，函数f（x）=log2（1|x|）的定义域为N，则MN=0，1）【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；一元二次不等式的解法【分析】先解不等式求出集合M；再利用对数的真数大于0求出N相结合即可求出MN【解答】解：由题得：M=x|x（x1）0=x|0x1=0，1；N=x|1|x|0=x|1x1=（1，1）MN=0，1）故答案为0，1）2已知复数z=a+3i（i为虚数单位，a0），若z2是纯虚数，则a的值为3【考点】复数的基本概念【分析】易得z2=a29+6ai，根据纯虚数的定义可得方程，解出即可，注意a0【解答】解：z=a+3i，z2=a29+6ai，又z2是纯虚数，解得a=3，a=3（舍去），故答案为：33从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为18【考点】频率分布直方图【分析】根据频率=小矩形的高组距求得视力在0.9以上的频率，再根据频数=频率样本容量求得该班学生中能报A专业的人数【解答】解：由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）0.2=0.4，该班学生中能报A专业的人数为450.4=18故答案为：184将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=4sin（2x）的图象，则f（）的值为2【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得f（x）的解析式，从而求得f（）的值【解答】解：由题意可得，把函数y=4sin（2x）的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象，故f（x）=4sin2（x）=4sin（2x），故f（）=4sin（）=2，故答案为：25如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为5【考点】伪代码【分析】算法的功能是求满足S=9（1+2+3+i）0的最大正整数i+1的值，计算S的值确定输出i的值【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求满足S=9（1+2+3+i）0的最小正整数i+1的值，S=9（1+2+3）=30，S=9（1+2+3+4）=10，输出的i值为5故答案为：56已知函数f（x）=，若f（x）=5，则x=8或2【考点】函数的零点；函数的值【分析】分别令x3=5，x2+1=5解得x，验证是否符合即可【解答】解：由题意可得当x0时，令x3=5，解得x=8符合题意；当x0时，令x2+1=5，解得x=2，或x=2，应取x=2；综上可得x=8或2故答案为：8或27设：2x4，：m+1x2m+4，mR，如果是的充分非必要条件，则m的范围是0，1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义可得，解得即可【解答】解：2x4，：m+1x2m+4，mR，若如果是的充分非必要条件，令：x|2x4，：x|m+1x2m+4，mR，集合，得，解得0m1故答案为：0，18设Sn是等差数列an的前n项和若，则=【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的求和公式表示出S3与S7，代入已知的等式左边，整理后得到a1=6d，将所求式子的分子分母分别利用等差数列的求和公式化简，将a1=6d代入，约分后即可求出值【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和， =，且S3=3a1+3d，S7=7a1+21d，=，整理得：a1=6d，则=故答案为：9棱长为2的正四面体的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】求出正四面体的底面面积以及高，即可求解正四面体的体积【解答】解：当棱长为2时，正四面体的底面积S=正四面体的高h=故正四面体的体积V=Sh=故答案为：10若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可【解答】解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2+=3，解之得b=故答案为：11设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0（1，2），使得f（x0）=f（x0）0，则不等式F（2x1）F（x）的解集为（）【考点】导数的运算【分析】首先判断出f（x）为奇函数，令f（x）=2ax（a0），根据条件列出不等式，解得即可【解答】解：由存在实数x0（1，2），使得f（x0）=f（x0）0，f（x）为奇函数，令f（x）=2ax（a0），F（x）=ax2，F（2x1）F（x）F（2x1）F（x）=a（2x1）2ax2=a（3x1）（x1）0即（3x1）（x1）0，解得，故答案为：12在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x）2+（ya）2=1（a0）上只存在一点P到直线l：y=2x6的距离等于1，则实数a的值为1【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径加1，列出方程求出a的值即可【解答】解：圆C：（x）2+（ya）2=1的圆心（）半径为1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x）2+（ya）2=1（a0）上存在一点P到直线l：y=2x6的距离等于1，即，即或解得a=1则实数a的值为1故答案为：113如图，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是1+【考点】两点间距离公式的应用【分析】RtAOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OBOD+BD=1+，即O、D、B三点共线时OB取得最大值【解答】解：作AC的中点D，连接OD、BD，OBOD+BD，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，BD=，OD=AD=AC=1，点B到原点O的最大距离为1+故答案是：1+14在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2【考点】解三角形；平面向量数量积的运算【分析】根据ABC的面积为2，可得PBC的面积=1，从而可得PBPC=，故=PBPCcosBPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP22BPCPcosBPC，进而可得BC22BPCP2BPCPcosBPC从而，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值【解答】解：E、F是AB、AC的中点，EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，ABC的面积=2PBC的面积，而ABC的面积=2，PBC的面积=1，又PBC的面积=PBPCsinBPC，PBPC=PBPCcosBPC=由余弦定理，有：BC2=BP2+CP22BPCPcosBPC显然，BP、CP都是正数，BP2+CP22BPCP，BC22BPCP2BPCPcosBPCPBPCcosBPC+2BPCP2BPCPcosBPC=令y=，则y=令y=0，则cosBPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减cosBPC=时，取得最大值为的最小值是故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若B=，BC边上中线AM=，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知ABC为等腰三角形，在AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）由正弦定理，得，化简得cosA=，A=；（2）B=，C=AB=，可知ABC为等腰三角形，在AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC22ACMCcos120，即7=，解得b=2，ABC的面积S=b2sinC=16如图，斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，平面C1D1DC平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点求证：（1）ADCD1；（2）EF平面ADD1A1【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理即可证明（2）利用已知条件证明四边形AFEG是平行四边形，从而根据EFAG即可证明EF平面ADD1A1【解答】证明：（1）由底面ABCD为矩形可得ADCD又平面C1D1DC平面ABCD，平面C1D1DC平面ABCD平面=CD，AD平面C1D1DC 又CD1面A1D1DA，ADCD1 （2）设DD1中点为G，连结EG，AGE，G分别为CD1，DD1的中点，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且AFCD，EGAF，且EG=AF四边形AFEG是平行四边形，EFAG又AG平面ADD1A1，EF平面ADD1A1，EF平面ADD1A117已知等差数列an的前n项和为Sn，且a4=5，S9=54（1）求数列an的通项公式与Sn；（2）若bn=，求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（2）bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a4=5，S9=54，d=1，a1=2an=2+n1=n+1，Sn=（2）bn=，数列bn的前n项和=+=18如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处（）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记PBC=，求sin的值；（）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）【考点】解三角形的实际应用【分析】（）在RtABC中，求出C=30，在PBC中，由余弦定理，求得PC，在PBC中，由正弦定理求sin的值；（）设甲出发后的时间为t小时，当1t4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离dBP3，此时不合题意；当0t1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在AMQ中，由余弦定理可得结论【解答】解：（）在RtABC中，C=30在PBC中，由余弦定理得BC2+PC22BCPCcos30=BP2，即化简，得PC26PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）在PBC中，由正弦定理得，即（）RtABC中，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0t4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4t在PBC中，由余弦定理得BC2+PC22BCPCcos30=BP2，即，化简得PC26PC+5=0解得PC=1或PC=5（舍去）当1t4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离dBP3，此时不合题意；当0t1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t在AMQ中，由余弦定理得，MQ2=（4t）2+（2t）222t（4t）cos60=7t216t+16令MQ3即MQ29，得7t216t+70，解得或综上，当时，甲、乙间的距离大于3米又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时19已知椭圆方程右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意方程求出b，c的值，代入菱形面积公式得答案；（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题设条件得y1=1，由此可求出POQ的面积；（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x1）（k0）由题意知（1+2k2）x24k2x+2k22=0由此可知0m【解答】解：（1）由椭圆方程，得a2=2，b2=1，则c2=a2b2=1，椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积S=；（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得3y2+2y1=0，解得|OF|y1y2|=|y1y2|=；（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x1）（k0）由，可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，（x2x10），若以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则（），得，（）=0，即（x1+x22m，y1+y2）（x2x1，y2y1）=0，（x1+x22m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）=0，则（x1+x22m）+k（y1+y2）=0，（2m）+k2（2）=0，得2k2（2+4k2）m=0，解得m=（k0）0m20已知三次函数f（x）=4x3+ax2+bx+c（a，b，cR）（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；（2）当1x1时有1f（x）1，求a，b，c的所有可能的取值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由于f（x）是奇函数，可得f（x）=f（x）解得a=c=0；设切点为P（t，4t3+bt），利用导数得到切线的斜率，得到切线l的方程为y（4t3+bt）=（12t2+b）（xt），把点（2，10）代入得到关于t的三次方程；要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，利用导数即可得出又三个实数根的充要条件，解出即可（2）由题意，当x=1，时，均有1f（x）1，利用上述条件即可得出a，b，c的值，再利用导数加以证明即可【解答】解 （1）f（x）是奇函数，由f（x）=f（x）得a=c=0，f（x）=4x3+bx，f（x）=12x2+b设切点为P（t，4t3+bt），则切线l的方程为y（4t3+bt）=（12t2+b）（xt），由于切线l过点（2，10），10（4t3+bt）=（12t2+b）（2t），整理得b=4t312t2+5，令g（t）=4t312t2+5b，则g（t）=12t224t=12t（t2），g（t）在（，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数，要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，g（t）=0有三个实数根，当且仅当g（0）0，且g（2）0，解得11b5（2）由题意，当x=1，时，均有1f（x）1，故14+a+b+c1，14+ab+c1，即14a+bc1，1+c1，1+c1，即1+c1，+得28+2b2，从而b3；+得21+2b2，从而b3，故b=3代入得a+c=0， +c=0，从而a=c=0下面证明：f（x）=4x33x满足条件事实上，f（x）=12x23=3（2x+1）（2x1），所以f（x）在（1，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，1）上单调递增，而f（1）=1，f（）=1，f（）=1，f（1）=1，所以当1x1时 f（x）满足1f（x）1xx12月5日