2019-2020年高三下学期期初数学试卷（文科）含解析.doc

2019-2020年高三下学期期初数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数a+bi=i（1i）（其中a，bR，i是虚数单位），则a+b的值为（）A2B1C0D22设集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则PQ=（）A3，0B3，0，1C3，0，2D3，0，1，23已知平向向量，满足：|=1，|=6， （）=2，则向量与向量的夹角为（）ABCD4函数f（x）=x2+2x，x1，3，则任取一点x01，3，使得f（x0）0的概率为（）ABCD5已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A若，则B若m，m，则C若m，n，则mnD若m，n，则mn6已知数列an，若点（n，an）（nN*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列an的前15项和S15=（）A12B32C60D1207给出下列命题：设a，b为非零实数，则“ab”是“”的充分不必要条件；在ABC中，若AB，则sinAsinB；命题“xR，sinx1”的否定为“x0R，sinx01”；命题“若x2且y3，则x+y5”的逆否命题为“x+y5，则x2且y3”其中真命题的个数是（）A3B2C1D08函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinx的图象，可以将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度9设点P是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）ABCD10已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当1x1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A（0，（5，+）B（0，）5，+）C（，（5，7）D（，）5，7）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知f（x）=，则f（f（）的值为12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为13若2x+2y=1，则x+y的取值范围是14运行如图的程序框图，当输入m=4时的输出结果为n，若变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为15定义f（x）是y=f（x）的导函数y=f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；函数f（x）=x33x23x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；存在三次函数h（x），方程h（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0）为函数y=h（x）的对称中心；若函数，则=1007.5其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，要求写出必要的推理与演算过程.16某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查（I）求每组中抽取的城市的个数；（II）从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率17已知，（I）若x0，2，求的单调递增区间；（）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求POQ的余弦值18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F平面ABE；（3）求三棱锥EABC的体积19已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足+=（n2+n+2）2n（nN*），求数列bn的前n项和20已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数（x）=xf（x）+tf（x）+，存在函数x1，x20，1，使得成立2（x1）（x2）成立，求实数t的取值范围21已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆x2+y2=12上（）求椭圆C的方程；（）直线l：x=my+3（m0）交椭圆C于M，N两点（i）若以弦MN为直径的圆过坐标原点O，求实数m的值；（ii）设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数a+bi=i（1i）（其中a，bR，i是虚数单位），则a+b的值为（）A2B1C0D2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件【分析】先化简i（1i），再根据复数相等即可求出a、b的值，进而求出答案【解答】解：i（1i）=1+i，a+bi=1+i，由复数相等的条件可得，a+b=1+1=2故选D2设集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则PQ=（）A3，0B3，0，1C3，0，2D3，0，1，2【考点】并集及其运算【分析】根据集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则log2a=0，b=0，从而求得PQ【解答】解：PQ=0，log2a=0a=1从而b=0，PQ=3，0，1，故选B3已知平向向量，满足：|=1，|=6， （）=2，则向量与向量的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用数量积的定义和运算性质即可得出【解答】解：|=1，|=6， （）=2，2=12，化为=，=故选：C4函数f（x）=x2+2x，x1，3，则任取一点x01，3，使得f（x0）0的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】解不等式f（x0）0，求出满足条件的x0的取值范围，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：由f（x0）0得x02+2x00，解得0x02，则有几何概型的概率公式可知f（x0）0的概率是=，故选：C5已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A若，则B若m，m，则C若m，n，则mnD若m，n，则mn【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除【解答】解：反例把书打开直立在桌面上，与相交或垂直；答案B：与相交时候，m与交线平行；答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；答案D：，正确故选D6已知数列an，若点（n，an）（nN*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列an的前15项和S15=（）A12B32C60D120【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【分析】由题意可得a8=4，然后利用等差数列的求和公式=15a8，结合性质可求【解答】解：由题意可得a8=4点（n，an）（nN*）在经过点（8，4）的定直线l上an可写为关于n的一次函数即可设an=kn+m，则anan1=k（为常数）an为等差数列由等差数列的性质可知，a1+a15=2a8=8 =15a8=60故选C7给出下列命题：设a，b为非零实数，则“ab”是“”的充分不必要条件；在ABC中，若AB，则sinAsinB；命题“xR，sinx1”的否定为“x0R，sinx01”；命题“若x2且y3，则x+y5”的逆否命题为“x+y5，则x2且y3”其中真命题的个数是（）A3B2C1D0【考点】命题的真假判断与应用【分析】当a，b异号时，“ab”“”，即可判断的真假；利用正弦定理判断的真假；利用全称命题与特称命题的否定关系判断真假；写出命题的逆否命题，判断的真假【解答】解：对于，当b0a时，可得，此时a，b为非零实数，则“ab”是“”的充分不必要条件不成立，错误对于，在ABC中，若AB，则ab，由正弦定理=2R，得2RsinA2RsinB，即sinAsinB成立，正确；对于，命题“xR，sinx1”的否定为“x0R，sinx01”；不满足命题的否定形式，所以不正确；对于，命题“若x2且y3，则x+y5”的逆否命题为“x+y5，则x2或y3”所以不正确；正确的命题有1个故选：C8函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinx的图象，可以将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】首先根据函数的图象确定A、的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果【解答】解：根据函数的图象：A=1T=4（）=所以：=2当x=时，f（）=sin（2+）=0，由于|，解得：=，f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），要得到g（x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右平移个单位即可故选：C9设点P是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|PF2|=2a，又|PF1|=3|PF2|，|PF1|=3a，|PF2|=a，圆x2+y2=a2+b2的半径=c，F1F2是圆的直径，F1PF2=90在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选 D10已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当1x1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A（0，（5，+）B（0，）5，+）C（，（5，7）D（，）5，7）【考点】函数零点的判定定理【分析】分a1与0a1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可【解答】解：当a1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，结合图象可知，故a5；当0a1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，结合图象可知，故0a故选A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知f（x）=，则f（f（）的值为3e【考点】对数的运算性质【分析】由3，可得=log3（156）=2进而得出【解答】解：3，=log3（156）=2f（f（）=f（2）=3e21=3e故答案为：3e12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得体是一个以俯视图为底面的四棱锥，该几何直观图如图所示：由三视图可知，SC平面ABCD，故几何体的表面积，故答案为：13若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（，2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】利用基本不等式构造出2x2y，利用指数的运算性质，即可求得x+y的取值范围【解答】解：2x0，2y0，2x+2y=，当且仅当2x=2y，即x=y时取“=”，2x+2y=1，1，即=22，x+y2，x+y的取值范围是（，2故答案为：（，214运行如图的程序框图，当输入m=4时的输出结果为n，若变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为5【考点】简单线性规划的应用；循环结构【分析】分析：先根据程序框图得到n的值，再画出约束条件，的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最大值【解答】解：由程序框图运行的结果得：n=1，由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（2，1），B（1，2），C（0，1）将三个代入得z的值分别为10，8，2直线z=2x+y过点A （2，1）时，z取得最大值为5；故答案为：515定义f（x）是y=f（x）的导函数y=f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；函数f（x）=x33x23x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；存在三次函数h（x），方程h（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0）为函数y=h（x）的对称中心；若函数，则=1007.5其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；分别求出函数f（x）=x33x23x+5与函数的对称中心判断；求出函数的对称中心，可得g（x）+g（1x）=1，进一步求得=1007.5判断【解答】解：任何三次函数的二阶导数都是一次函数，任何三次函数只有一个对称中心，故不正确；由f（x）=x33x23x+5，得f（x）=3x26x3，f（x）=6x6，由6x6=0，得x=1，函数f（x）的对称中心为（1，0），又由，得x=k，kZ，f（x）的对称中心是函数的一个对称中心，故正确；任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，存在三次函数f（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0）为y=f（x）的对称中心，即正确；，g（x）=x2x，g（x）=2x1，令g（x）=2x1=0，得x=，g（）=（）3（）2=，函数的对称中心是（，），g（x）+g（1x）=1，=1007.5，故正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，要求写出必要的推理与演算过程.16某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查（I）求每组中抽取的城市的个数；（II）从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）根据分层抽样方法的特点，求出从甲、乙、丙组中应抽取的城市数；（）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可【解答】解：（）设从甲、乙、丙三组城市中应抽取的个数分别为x、y、z，则由题意得=，解得，x=1、y=2、z=3；故从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为：1，2，3；（）由（）可知，从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为为：1，2，3，记甲组中已抽取的城市为a1，乙组中已抽取的城市为b1、b2，丙组中已抽取的城市为c1、c2、c3；从已抽取的6个城市中任抽两个城市的所有可能为：a1b1、a1b2、a1c1、a1c2、a1c3、b1b2、b1c1、b1c2、b1c3、b2c1、b2c2、b2c3、c1c2、c1c3、c2c3共15种；设“抽取的两个城市不来自同一组”为事件A，则事件A包括a1b1、a1b2、a1c1、a1c2、a1c3、b1c1、b1c2、b1c3、b2c1、b2c2、b2c3共11种；所以P（A）=；即从已抽取的6个城市中任抽两个城市，两个城市不来自同一组的概率为17已知，（I）若x0，2，求的单调递增区间；（）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求POQ的余弦值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（I）利用数量积运算性质、和差公式可得，再利用单调性即可得出（I I）由题意得P，Q根据距离公式及其余弦定理即可得出【解答】解：（I），解得，x0，2时，或，f（x）的单调递增区间为，（I I）由题意得P，Q根据距离公式，根据余弦定理，18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F平面ABE；（3）求三棱锥EABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）证明ABB1BCC1，可得平面ABEB1BCC1；（2）证明C1F平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1FEG；（3）利用VEABC=SABCAA1，可求三棱锥EABC的体积【解答】解：（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，BB1AB，ABBC，BB1BC=B，BB1，BC平面B1BCC1，AB平面B1BCC1，AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1；（）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则F是BC的中点，FGAC，FG=AC，E是A1C1的中点，FGEC1，FG=EC1，四边形FGEC1为平行四边形，C1FEG，C1F平面ABE，EG平面ABE，C1F平面ABE；（3）解：AA1=AC=2，BC=1，ABBC，AB=，VEABC=SABCAA1=（1）2=19已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足+=（n2+n+2）2n（nN*），求数列bn的前n项和【考点】数列的求和【分析】（1）设等比数列an的公比为q，由a1+a4=9，a2a3=8可得，解得并利用数列an是递增的等比数列即可得出；（2）由数列bn满足+=（n2+n+2）2n（nN*），利用递推关系可得： =（n2+n+2）2n（n1）2+（n1）+22n1，化为：bn=可得bn=再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，a1+a4=9，a2a3=8，解得a1=1，q=2；或a1=8，q=数列an是递增的等比数列，a1=8，q=舍去a1=1，q=2；an=2n1（2）数列bn满足+=（n2+n+2）2n（nN*），当n2时， +=（n1）2+（n1）+22n1，可得=（n2+n+2）2n（n1）2+（n1）+22n1，化为：bn=当n=1时， =8，b1=bn=当n2时，数列bn的前n项和Sn=+=当n=1时也成立，数列bn的前n项和Sn=20已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数（x）=xf（x）+tf（x）+，存在函数x1，x20，1，使得成立2（x1）（x2）成立，求实数t的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）确定函数的定义域，求导数利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；（2）假设存在x1，x20，1，使得成立2（x1）（x2）成立，则2（x）min（x）max分类讨论求最值，即可求实数t的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域为R，f（x）=当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减（2）假设存在x1，x20，1，使得成立2（x1）（x2）成立，则2（x）min（x）max（x）=xf（x）+tf（x）+=，（x）=当t1时，（x）0，（x）在0，1上单调递减，2（1）（0），即t31当t0时，（x）0，（x）在0，1上单调递增，2（0）（1），即t32e0当0t1时，在x0，t），（x）0，（x）在0，t上单调递减在x（t，1，（x）0，（x）在t，1上单调递增2（t）max（0），（1），即21， （*）由（1）知，g（t）=2在0，1上单调递减故22，而，不等式（*）无解综上所述，存在t（，32e）（3，+），使得命题成立21已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆x2+y2=12上（）求椭圆C的方程；（）直线l：x=my+3（m0）交椭圆C于M，N两点（i）若以弦MN为直径的圆过坐标原点O，求实数m的值；（ii）设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）椭圆C的左顶点在圆O：x2+y2=12上，解得a，又，b2=a2c2，解出即可得出椭圆C的方程（）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2）直线l与椭圆C方程联立化为（m2+4）y2+6my3=0，由OMON，可得，即x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入解出m，即可得出（ii）由题意，N1（x2，y2），可得直线NM的方程为，令y=0，可得点P的坐标为（4，0） 利用PMN的面积为S=|PF|y1y2|，化简了基本不等式的性质即可得出【解答】解：（）椭圆C的左顶点在圆O：x2+y2=12上，又离心率为，解得c=3，b2=a2c2=3，椭圆C的方程为（）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2）直线l与椭圆C方程联立化简并整理得（m2+4）y2+6my3=0，OMON，即x1x2+y1y2=0，代入，得，解得，（ii）由题意，N1（x2，y2），直线NM的方程为，令y=0，得=，点P的坐标为（4，0） PMN的面积为=，当且仅当，即时等号成立，故PMN的面积存在最大值，最大值为1xx10月24日