2019-2020年高考数学二模试卷（理科） 含解析(I).doc

2019-2020年高考数学二模试卷（理科） 含解析(I)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1已知复数z=，则复数z的虚部是（）AB iCDi2设实数x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是（）AB1C2D73执行如图所示的程序框图，若输入n=6，则输出的S=（）ABCD4下列说法正确的是（）A命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题B命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若AB，则sinAsinB”的逆命题为真命题C“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”D“a=1”是“直线xay+1=0与直线x+ay2=0互相垂直”的充要条件5已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），则双曲线的标准方程为（）A=1B=1Cy2=1Dy2=16函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2x），且当x1时，有（x1）f（x）0，设a=f（tan），b=f（log32），c=f（0.23），则（）AabcBcabCbcaDcba7已知AB，DE为圆O的直径，CDAB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F若圆O的半径为1，则EF的长为（）ABCD8已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、CD上， =， =若+=，则的最小值（）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本已知该学院的A专业有420名学生，B专业有580名学生，则在该学院的C专业应抽取_名学生10设区域=（x，y）|0x1，0y1，区域A=（x，y）|y，（x，y），在区域中随机取一个点，则该点在A中的概率_11某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是_12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+b+c）（b+ca）=3bc，a=，tanB=，则b的值为_13极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2=8cos设直线l与曲线C交于A，B两点，弦长|AB|=_14若函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|x|的图象恰有五个交点，则实数k的取值范围是_三、解答题：本大题6小题，共80分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x （1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值16国家旅游局确定xx以“丝绸之路旅游年”为xx旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”某人利用五一假期，在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章3枚，白塔纪念徽章2枚，其余三处各1枚，现从中任取4枚（）求抽取的4枚中恰有3个景点的概率；（）抽取的4枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为枚，求的分布列和数学期望17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA=60，AP=AC=AD=2，E为CD的中点，M在AB上，且=2（I）求证：EM平面PAD；（）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（） 点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角45，求AF的长18己知椭圆C1： +=1（ab0）和圆C2：x2+y2=r2（r0），已知圆C2的直径是椭圆C1焦距长的倍，且圆C2的面积为4，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的上顶点A作一条斜率为k（k0）的直线l与椭圆C1的另一个交点是B，与圆C2相交于点E，F（1）求椭圆C1的方程；（2）当|AB|EF|=3时，求直线l的方程，并求F2AB的面积（其中F2为椭圆C1的右焦点）19已知数列an满足an+2=，且nN*，a1=1，a2=2（1）求an的通项公式；（2）设bn=anan+1，nN*，求数列bn的前2n项和S2n；（3）设cn=a2n1a2n+（1）n，证明： +20已知直线y=是函数f（x）=的切线（其中e=2.71828）（I）求实数a的值；（）若对任意的x（0，2），都有f（x）成立，求实数m的取值范围；（）若函数g（x）=lnf（x）b的两个零点为x1，x2，证明：g（x1）+g（x2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1已知复数z=，则复数z的虚部是（）AB iCDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=，复数z的虚部是故选：C2设实数x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是（）AB1C2D7【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，由解得A（，），从而求最小值【解答】解：由题意作平面区域如下，由解得，A（，），故z=x+y的最小值是+=，故选：A3执行如图所示的程序框图，若输入n=6，则输出的S=（）ABCD【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出S的值，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=8时，不满足条件i6，退出循环，输出S的值为【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=0，i=2满足条件i6，执行循环体，S=，i=4满足条件i6，执行循环体，S=+=，i=6满足条件i6，执行循环体，S=+=，i=8不满足条件i6，退出循环，输出S的值为故选：C4下列说法正确的是（）A命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题B命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若AB，则sinAsinB”的逆命题为真命题C“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”D“a=1”是“直线xay+1=0与直线x+ay2=0互相垂直”的充要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据复合命题的真假关系进行判断B根据逆命题的定义进行判断C根据否命题的定义进行判断D根据直线垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：A若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故A正确，B命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若AB，则sinAsinB”的逆命题为若sinAsinB，则AB，由正弦定理得sinAsinBabAB，则逆命题为真命题，故B正确，C“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”，故C错误，D若直线xay+1=0与直线x+ay2=0互相垂直，则11a2=0，得a=1，即“a=1”是“直线xay+1=0与直线x+ay2=0互相垂直”的充分不必要条件，故D错误，故选：B5已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），则双曲线的标准方程为（）A=1B=1Cy2=1Dy2=1【考点】双曲线的简单性质【分析】设出双曲线的左顶点和抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，求得p=a=b=2，即可得到所求双曲线的方程【解答】解：设双曲线的左顶点为（a，0），抛物线y2=2px（p0）的焦点为（，0），由题意可得a+=3，双曲线的渐近线方程为y=x，抛物线的准线方程为x=，由题意可得=1，=1，解得p=2，a=2，b=2，则双曲线的方程为=1故选：B6函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2x），且当x1时，有（x1）f（x）0，设a=f（tan），b=f（log32），c=f（0.23），则（）AabcBcabCbcaDcba【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2x），知函数f（x）的图象关于x=1对称再根据函数的单调性，比较a=f（tan），b=f（log32），c=f（0.23）的大小【解答】解：函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2x），令x=x+1，则f（x+1）=f2（x+1）=f（x+1），函数f（x）的图象关于x=1对称；当x1时，有（x1）f（x）0，x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，f（x）在（，1）递增，在（1，+）递减，0tan=10.23，f（tan）f（log32）f（0.23），cba故选：D7已知AB，DE为圆O的直径，CDAB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F若圆O的半径为1，则EF的长为（）ABCD【考点】与圆有关的比例线段【分析】若圆O的半径为1，利用射影定理求EF的长【解答】解：连接EC，DE为圆O的直径，ECCD，ONEC，ON=EC，圆O的半径为1，N为OB的中点，EC=1，CD=，RtDEF中，EC2=FCCD，FC=EF2=FCFD=，EF=故选：A8已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、CD上， =， =若+=，则的最小值（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合+=及基本不等式求得的最小值【解答】解：如图，=， =，且+=，=（）（），=由题意可得，0，+=，则2（1+），（当且仅当时等号成立），的最小值为故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本已知该学院的A专业有420名学生，B专业有580名学生，则在该学院的C专业应抽取50名学生【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：有分层抽样的标准在C学院抽取=50，故答案为：5010设区域=（x，y）|0x1，0y1，区域A=（x，y）|y，（x，y），在区域中随机取一个点，则该点在A中的概率【考点】几何概型【分析】首先利用定积分求出阴影部分区域面积，然后利用定积分求几何概型概率【解答】解：如图，区域对应的部分是边长为1的正方形，区域A对应部分为图中阴影部分，面积为，由几何概型公式得到在区域中随机取一个点，则该点在A中的概率为=；故答案为：11某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的高，由椎体、柱体的体积公式求出此几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，且圆锥的底面圆的半径r=2、高是2，圆柱的底面圆的半径r=2、高是1，所以此几何体的体积V=，故答案为：12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+b+c）（b+ca）=3bc，a=，tanB=，则b的值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知整理可得：b2+c2a2=bc，利用余弦定理可得cosA=，从而可求A，又由tanB=，B为三角形内角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB的值，由正弦定理即可解得b的值【解答】解：（a+b+c）（b+ca）=3bc，整理可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，A=又tanB=，B为三角形内角，cosB=，sinB=，由正弦定理可得： =，解得：b=故答案为：13极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2=8cos设直线l与曲线C交于A，B两点，弦长|AB|=【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】曲线C的极坐标方程为sin2=8cos，即2sin2=8cos，利用2=x2+y2，x=cos即可化为直角坐标方程直线l的参数方程为（t为参数），化为标准方程：，代入曲线C的直角坐标方程可得：3m216m64=0，利用|AB|=|m1m2|=即可得出【解答】解：曲线C的极坐标方程为sin2=8cos，即2sin2=8cos，化为直角坐标方程：y2=8x直线l的参数方程为（t为参数），化为标准方程：，代入曲线C的直角坐标方程可得：3m216m64=0，m1+m2=，m1m2=|AB|=|m1m2|=故答案为：14若函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|x|的图象恰有五个交点，则实数k的取值范围是【考点】函数的图象【分析】作出函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|x|的图象，x1时，kx+1=，即kx2+x2=0有两个不等的实数根，可得k的范围，利用对称性，即可求出实数k的取值范围【解答】解：0x1时，y=2x；x1时，y=，函数y=|x+|x|为偶函数，图象如图所示函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|x|的图象恰有五个交点，x1时，kx+1=，即kx2+x2=0有两个不等的实数根，=1+8k0且k0，k0，根据对称性，可得实数k的取值范围是故答案为：三、解答题：本大题6小题，共80分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x （1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）利用二倍角和两角和的正弦公式f（x）=2sin（2x+），求得周期为，（2）f（x0）=，代入求得sin（2x0+）=，写出2x0+，求得，cos（2x0+）=，cos2x0=cos（2x0+），利用两角差的余弦公式求cos2x0的值【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），f（x）的最小正周期为，（2）f（x0）=，2sin2（x0）+=，sin（2x0+）=，x0，2x0+，cos（2x0+）=，cos2x0=cos（2x0+），=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin，=，cos2x0=16国家旅游局确定xx以“丝绸之路旅游年”为xx旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”某人利用五一假期，在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章3枚，白塔纪念徽章2枚，其余三处各1枚，现从中任取4枚（）求抽取的4枚中恰有3个景点的概率；（）抽取的4枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为枚，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（）记“抽取的4枚徽章中恰有3个景点”为事件A，由此利用互斥事件概率加法公式能求出抽取的4枚中恰有3个景点的概率（）的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望【解答】解：（）记“抽取的4枚徽章中恰有3个景点”为事件A，（）的可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为 0 1 2 3 P=17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA=60，AP=AC=AD=2，E为CD的中点，M在AB上，且=2（I）求证：EM平面PAD；（）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（） 点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角45，求AF的长【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（）以A为原点，AD为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，利用向量法能证明EM平面PAD（）求出平面PBC的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值（）令，求出，由此利用向量法能求出AF的长【解答】证明：（）以A为原点，AD为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），P（0，0，2），设M（x，y，z），平面PAD的法向量，又EM平面PAD，EM平面PAD，解：（）设平面PBC的法向量，即，令x=1，平面PAD的法向量，设二面角所成的锐二面角为，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为（）令，F（2，0，22），426+2=0，或=1（舍）F（1，0，1），18己知椭圆C1： +=1（ab0）和圆C2：x2+y2=r2（r0），已知圆C2的直径是椭圆C1焦距长的倍，且圆C2的面积为4，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的上顶点A作一条斜率为k（k0）的直线l与椭圆C1的另一个交点是B，与圆C2相交于点E，F（1）求椭圆C1的方程；（2）当|AB|EF|=3时，求直线l的方程，并求F2AB的面积（其中F2为椭圆C1的右焦点）【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由圆的面积公式得r2=4，得r=2，从而求出c=，由椭圆C1的离心率为，求出a，b，由此能求出椭圆方程（2）设直线l：y=kx+1，求出圆心O到直线l的距离和|EF|，联立，得（3k2+1）x2+6kx=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式能求出结果【解答】解：（1）椭圆C1： +=1（ab0）和圆C2：x2+y2=r2（r0），圆C2的直径是椭圆C1焦距长的倍，且圆C2的面积为4，r2=4，r0，解得r=2，2r=，r=，c=，又椭圆C1的离心率为，a2+b2=c2，a=，b=1，椭圆方程为（2）由（1）知圆C2的圆心O（0，0），r=，A（0，1），设直线l：y=kx+1，圆心O到直线l的距离d=，|EF|=2=2，联立，得（3k2+1）x2+6kx=0，设B（x1，y1），则x1=，|AB|=，|AB|EF|=3，|AB|EF|=3，k4+6k27=0，（k2+7）（k21）=0，k2=1，k0，k=1，直线l：y=x+1|AB|=，点F2到直线l的距离d1=，=19已知数列an满足an+2=，且nN*，a1=1，a2=2（1）求an的通项公式；（2）设bn=anan+1，nN*，求数列bn的前2n项和S2n；（3）设cn=a2n1a2n+（1）n，证明： +【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由数列an满足an+2=，a1=1，a2=2当n为奇数时，an+2an=2，此时数列a2k1（kN*）成等差数列当n为偶数时，an+2=2an，此时数列a2k（kN*）成等比数列，即可得出（2）bn=anan+1，nN*，可得：b2k1+b2k=a2k1a2k+a2ka2k+1=4k2k利用“错位相减法”与分组求和即可得出（3）cn=a2n1a2n+（1）n=（2n1）2n+（1）n可得=，（n5）. = =（n4），即可证明【解答】（1）解：数列an满足an+2=，a1=1，a2=2当n为奇数时，an+2an=2，此时数列a2k1（kN*）成等差数列，公差为2，首项为1，an=a2k1=1+2（k1）=2k1=n当n为偶数时，an+2=2an，此时数列a2k（kN*）成等比数列，公比为2，首项为2，an=a2k=2k=an=（2）解：bn=anan+1，nN*，b2k1+b2k=a2k1a2k+a2ka2k+1=（2k+1+2k1）2k=4k2k数列bn的前2n项和S2n=（b1+b2）+（b3+b4）+（b2k1+b2k）=4（2+222+323+k2k），令Ak=2+222+323+k2k，2Ak=22+223+（k1）2k+k2k+1，Ak=2+22+2kk2k+1=k2k+1=（1k）2k+12，Ak=（k1）2k+1+2（3）证明：cn=a2n1a2n+（1）n=（2n1）2n+（1）n=，（n5）=（n4）+1+1+20已知直线y=是函数f（x）=的切线（其中e=2.71828）（I）求实数a的值；（）若对任意的x（0，2），都有f（x）成立，求实数m的取值范围；（）若函数g（x）=lnf（x）b的两个零点为x1，x2，证明：g（x1）+g（x2）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，求出切点坐标，从而求出a的值即可；（）分离参数，问题转化为对任意x（0，2）都成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可；（）求出函数的导数，得到，令，则x2=tx1，则tx1x1=lnt，问题转化为证明即证令（t）=tlnt，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）由题意得，设切点（）所以f（x0）=0，得x0=1则，a=1（）由（1）知对任意x（0，2）都成立，2xx20，即对任意x（0，2）都成立，令，x（0，1），h（x）0；x（1，2），h（x）0，h（x）在（0，1）上单增，（1，2）上单减，（）证明：由题意知函数g（x）=lnxxb，所以，因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，所以，相减得，不妨令，则x2=tx1，则tx1x1=lnt，所以，要证g（x1）+g（x2）只要证只要证即证令，令m（t）=t4+t34t2+t+1，m（t）=4t3+3t28t+1，m（t）=12t2+6t80对t1恒成立，m（t）在（1，+）上单增，m（t）m（1）=0，m（t）在（1，+）上单增，m（t）m（1）=0，即（t）0（t）在（1，+）上单增，（t）（1）=0，即原不等式成立xx9月7日