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2019-2020年高考数学异构异模复习第三章导数及其应用3.2.3导数的综合应用撬题理1.设f(x)是定义在R上的可导函数,当x0时,f(x)0,则关于x的函数g(x)f(x)的零点个数为()A1 B2C0 D0或2答案C解析由f(x)0,得0,当x0时,xf(x)f(x)0,即xf(x)0,函数xf(x)单调递增;当x0时,xf(x)f(x)0,即xf(x)0f(0)0,又g(x)f(x)x1,函数g(x)的零点个数等价于函数yxf(x)1的零点个数当x0时,yxf(x)11,当x1,所以函数yxf(x)1无零点,所以函数g(x)f(x)x1的零点个数为0.故选C.2设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数,其导函数为f(x),且有2f(x)xf(x)x2,则不等式(xxx)2f(xxx)4f(2)0的解集为_答案(,xx)解析由2f(x)xf(x)x2,x0得2xf(x)x2f(x)x3,x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0),则F(x)0(x0即为F(xxx)F(2)0,即F(xxx)F(2),又因为F(x)在(,0)上是减函数,所以xxx2,xxx.3已知f(x)axcosx,x.若x1,x2,x1x2,0,则实数a的取值范围为_答案a解析f(x)asinx.依题意可知f(x)在上为减函数,所以f(x)0对x恒成立,可得asinx对x恒成立设g(x)sinx,x.易知g(x)为减函数,故g(x)min,所以a.4设函数f(x)emxx2mx. (1)证明:f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围解(1)证明:f(x)m(emx1)2x.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0.若m0,f(x)0;当x(0,)时,emx10.所以,f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0单调递减,在0,1单调递增,故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1,则g(t)et1.当t0时,g(t)0时,g(t)0.故g(t)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增又g(1)0,g(1)e12e1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即emme1;当m0,即emme1.综上,m的取值范围是1,15设a1,函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(,)上仅有一个零点;(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m 1.解(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0,故f(x)是R上的单调递增函数,其单调增区间是(,),无单调减区间(2)证明:因为f(0)(102)e0a1a0,由零点存在性定理知,f(x)在(,)上至少有一个零点又由(1)知,函数f(x)是(,)上的单调递增函数,故函数f(x)在(,)上仅有一个零点 (3)证明:设点P(x0,y0),由曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行知,f(x0)0,即f(x0)(x01)2ex00,(x01)20,x01,即P(1,2e1a)由点M(m,n)处的切线与直线OP平行知,f(m)kOP,即(1m)2ema.由em1m知,(1m)3(1m)2ema,即1m ,即m 1.6已知函数f(x)nxxn,xR,其中nN*,且n2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为yg(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)g(x);(3)若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2x1|0,即x1时,函数f(x)单调递增;当f(x)1时,函数f(x)单调递减所以,f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0n,f(x0)nn2.曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0),即g(x)f(x0)(xx0)令F(x)f(x)g(x),即F(x)f(x)f(x0)(xx0),则F(x)f(x)f(x0)由于f(x)nxn1n在(0,)上单调递减,故F(x)在(0,)上单调递减又因为F(x0)0,所以当x(0,x0)时,F(x)0,当x(x0,)时,F(x)0,所以F(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)F(x0)0,即对于任意的正实数x,都有f(x)g(x)(3)证明:不妨设x1x2.由(2)知g(x)(nn2)(xx0)设方程g(x)a的根为x2,可得x2x0.当n2时,g(x)在(,)上单调递减又由(2)知g(x2)f(x2)ag(x2),可得x2x2.类似地,设曲线yf(x)在原点处的切线方程为yh(x),可得h(x)nx.当x(0,),f(x)h(x)xn0,即对于任意的x(0,),f(x)h(x)设方程h(x)a的根为x1,可得x1.因为h(x)nx在(,)上单调递增,且h(x1)af(x1)h(x1),因此x1x1.由此可得x2x1x2x1x0.因为n2,所以2n1(11)n11C1n1n,故2nx0.所以|x2x1|0时,f(x)x;(2)证明:当k0,使得对任意的x(0,x0),恒有f(x)g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t0,对任意的x(0,t),恒有|f(x)g(x)|x2.解(1)证明:令F(x)f(x)xln (1x)x,x0,),则有F(x)1.当x(0,)时,F(x)0时,F(x)0时,f(x)0,故G(x)在0,)上单调递增,G(x)G(0)0,故任意正实数x0均满足题意当0k0,取x01,对任意x(0,x0),有G(x)0,从而G(x)在0,x0)上单调递增,所以G(x)G(0)0,即f(x)g(x)综上,当k0,使得对任意x(0,x0),恒有f(x)g(x)(3)解法一:当k1时,由(1)知,x(0,),g(x)xf(x),故g(x)f(x),|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln (1x)令M(x)kxln (1x)x2,x0,),则有M(x)k2x.故当x时,M(x)0,M(x)在上单调递增,故M(x)M(0)0,即|f(x)g(x)|x2.所以满足题意的t不存在当k0,使得当x(0,x0)时,f(x)g(x),此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln (1x)kx.令N(x)ln (1x)kxx2,x0,),则有N(x)k2x ,当x时,N(x)0,N(x)在上单调递增,故N(x)N(0)0,即f(x)g(x)x2.记x0与中的较小者为x1,则当x(0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|x2.故满足题意的t不存在当k1时,由(1)知,当x0时,|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln (1x)令H(x)xln (1x)x2,x0,),则有H(x)12x.当x0时,H(x)0,所以H(x)在0,)上单调递减,故H(x)0时,恒有|f(x)g(x)|1时,由(1)知,x(0,),g(x)xf(x),故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln (1x)kxx(k1)x.令(k1)xx2,解得0x1时,对于x(0,k1),恒有|f(x)g(x)|x2,故满足题意的t不存在当k1时,取k1,从而kk10,使得x(0,x0),f(x)k1xkxg(x),此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)(k1k)xx.令xx2,解得0xx2.记x0与中的较小者为x1,当x(0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|x2.故满足题意的t不存在当k1时,由(1)知,x0,|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln (1x),令M(x)xln (1x)x2,x0,),则有M(x)12x.当x0时,M(x)0,所以M(x)在0,)上单调递减,故M(x)0时,恒有|f(x)g(x)|2;(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立,求k的最大值解(1)因为f(x)ln (1x)ln(1x),所以f(x),f(0)2.又因为f(0)0,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明:令g(x)f(x)2,则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0xg(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2.(3)由(2)知,当k2时,f(x)k对x(0,1)恒成立当k2时,令h(x)f(x)k,则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时,h(x)0,因此h(x)在区间上单调递减当0x 时,h(x)h(0)0,即f(x)2时,f(x)k并非对x(0,1)恒成立综上可知,k的最大值为2.9已知函数f(x)ln xax22x(a0)依题意f(x)0在x0时恒成立,即ax22x10在x0时恒成立则a21在x0时恒成立,即amin(x0),当x1时,21取最小值1.a的取值范围是(,1(2)a,f(x)xbx2xln xb0.设g(x)x2xln xb(x0)则g(x).列表:x(0,1)1(1,2)2(2,4)g(x)00g(x)极大值极小值g(x)极小值g(2)ln 2b2,g(x)极大值g(1)b,又g(4)2ln 2b2,方程g(x)0在1,4上恰有两个不相等的实数根,则得ln 22b.10.如图,现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围(运算中取1.4);(2)若中间草地的造价为a元/m2,四个花坛的造价为ax 元/m2,其余区域的造价为元/m2,当x取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?解(1)由题意得,解得,即9x15.所以x的取值范围是9,15(2)记“环岛”的整体造价为y元,则由题意得ya2axx2x312x2,令f(x)x4x312x2,则f(x)x34x224x4x,由f(x)0,解得x10或x15或x0(舍),列表如下:x9(9,10)10(10,15)15f(x)00f(x)极小值所以当x10时,y取最小值即当x10时,可使“环岛”的整体造价最低
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