2019-2020年高中数学 2.2圆与圆的方程基础过关及典型例题 北师大版必修2.doc

2019-2020年高中数学 2.2圆与圆的方程基础过关及典型例题 北师大版必修2基础过关1 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_2圆的一般方程x2y2DxEyF0(其中D2E24F0)，圆心为 ，半径r 3二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的方程的充要条件是 4圆C：(xa)2(yb)2r2的参数方程为_x2y2r2的参数方程为_5过两圆的公共点的圆系方程：设C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，则经过两圆公共点的圆系方程为 典型例题例1. 根据下列条件，求圆的方程(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x10y90上(2) 经过P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6解：(1)AB的中垂线方程为3x2y150由 解得 圆心为C(7，3)，半径r故所求圆的方程为(x7)2(y3)265(2)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0将P、Q两点坐标代入得令y0得x2DxF0由弦长|x1x2|6得D24F36 解可得D2，E4，F8或D6，E8，F0故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0变式训练1：求过点A（2，3），B（2，5），且圆心在直线x2y3=0上的圆的方程由A（2，3），B（2，5），得直线AB的斜率为kAB= = ,线段AB的中点为（0，4），线段AB的中垂线方程为y4=2x,即y2x 4=0,解方程组得圆心为（1，2），根据两点间的距离公式，得半径r=所求圆的方程为（x1)2(y2)2=10例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为,半径r=.方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，.O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.(3-2)2+5=m=3.半径为,圆心为.方法三 设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，点O（0，0）在圆上.m-3=0，即m=3.圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.圆心M，又圆在PQ上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.圆心为，半径为.变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2=此时，kt=-,从而kt=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3. 知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1.k,kmax=，kmin=.变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.例4. 设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0的距离最小的圆的方程。解法一设圆的圆心为P（a,b),半径为r，则点P到x轴y轴的距离分别为b、a。由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90，圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a21,从而得2b2=a21点P到直线x2y=0的距离为d=,5d2=(a2b)2=a24b24ab= 2a22b24ab1=2(ab)211当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1, d取得最小值由a=b及2b2=a21得，进而得r2=2所求圆的方程为（x1)2(y1)2=2或（x1)2(y1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a2b= da2=4b24bd5d2,将a2=2b21代入整理得2b24bd5d21=0 （）把（）看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故0即8（5d21)0, 5d21可见5d2有最小值1，从而d有最小值，将其代入（）式得2b24b2=0, b= 1, r2=2b2=2, a2=2b21=1, a= 1由a2b=1知a、b同号故所求圆的方程为（x1)2(y1)2=2或（x1)2(y1)2=2变式训练4：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O24，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PMPN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程O1O2NMPOxy22O1O2NMP解：以O1、O2的中点为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(2, 0)、O2(2, 0)如图：由PMPN得PM22PN2 PO1212(PO221)，设P(x，y) (x2)2y212(x2)2y21即(x6)2y233为所求点P的轨迹方程