2019-2020年高中数学重要知识点及典型例题新课标人教版.doc

2019-2020年高中数学重要知识点及典型例题新课标人教版一、知识结构平面向量表示运算向量的三种表示向量加法与减法实数与向量的积向量的数量积平行四边形法则向量平行的充要条件三角形法则平面向量的基本定理二、重要知识及典型例题1、向量的相关概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量.用有向线段表示或小写字母a、b、c表示.（2）向量的模：就是向量的长度(或称模)，记作.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.（3）零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用表示.两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量.规定：零向量与任一向量都平行.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量，若向量与向量相等，记作=.2、向量的运算（1）向量的加法：将两个向量的求和运算称为向量的加法 法则适用于“首尾相接”的两向量之和，法则适用于“共起点”的两向量之和.推广：多边形法则： 交换律： 结合律：重要不等式：两个非零向量与：|-|+（说明：与同向时取后“=”；与异向时取前“=”）特别地：+=（与互为相反向量）（2）向量的减法：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-) 法则：（同始连终，指向被减）作平移，共起点；两尾连，指被减。 重要不等式：-+（说明：与同向时取前“=”；与异向时取后“=”）3、实数与向量的积（1）实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记，它的长度与方向规定如下：=;当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；当=0时，=,方向是任意的.（2）运算律：设、为实数，那么：(a)=；(+) =+；(+)=+（3）共线定理：向量与非零向量共线是有且只有一个实数，使得=.4、平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1 、2使：=1+2 （，叫做一组基底）向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，它们的结果仍为向量.5、平面向量的坐标运算 和与差：=(x1x2,y1y2) 如果A(x1，y1)、B(x2,y2)，则= 若=(x,y),则=(x,y) 如果=(x1,y1), =(x2,y2)( )则6、线段的定比分点：点P分有向线段 向量式：= 坐标式： 坐标公式：(-1) 中点公式：重心：7、平面向量的数量积及运算律 (1).概念 两平面向量和的夹角：，是两非零向量，.两平面向是和的数量积(或内积)：数量=规定，零向量与任一向量的数量积均为0.=0是或，中至少一个为的充要条件几何意义：向量的模与在的方向上投影cos的乘积.一个向量在另一向量方向上的投影：称为向量在的方向上的投影（2）性质：设、是两非零向量，是单位向量，是与的夹角， =； =0 、同向=; ,反向=-;特别地 =2=2或=. = (为，的夹角)；（3）.平面向量的数量积的运算律 交换律：=； 分配律：(+) =+ 数乘向量与数量积的结合律：()=()=();(R)（4）两向量的数量积与两数之间的乘法的区别当时，不能由=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.不满足消去律，即=不满足结合律，即 ()()， 8、平面向量数量积的坐标表示；向量的模：若=(x,y),则= 两点间距离公式：= ；夹角：=9、平移（1）平移公式： =+(平移向量公式) (平移的坐标公式)；变换公式（2）题型：（一设二找三代四换）（待定系数法、配凑法、逆推法）10、正弦定理 余弦定理 （1）正弦定理、三角形面积公式（为外接圆半径）=2R；S=bcsinA=absinC=acsinB变形：；=,=,=. 应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化）（2）余弦定理在ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；变形：=；（3）正、余弦定理应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化）注意：A+B+C=；0A，B，C；sin=sin=；(A+B)=11、解斜三角形应用举例（1）常用概念：仰角、俯角；方向角（北偏东60，西南方向）、方位角；水平距离、垂直距离、坡面距离；坡度（坡比）、坡角（2）解题步骤：根据题意作出示意图；确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元与未知元；选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理，并注意运算的正确性；给出答案.三、习题1、平面向量则这样的向量有（）A1个 B2个 C多个2个 D不存在2向量=（1，2），向量与共线，且|=4|，则=（ ）A（4，8） B（4，8）或（4，8） C（4，8） D（8，4）或（4，8）3设是平面内任意的非零向量且相互不共线，给出下列命题中真命题是（ ） ； ； 不与垂直； A B C D4设向量（ ）ABCD5给定两个向量平行，则x的值等于（ ）A1BC2D6若e，e，且，则四边形ABCD是（ ）A平行四边形B菱形C等腰梯形D非等腰梯形7已知关于x的方程的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是（ ）A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形8已知点A（2，1），B（0，2），C（2，1），O（0，0）. 给出下面四个结论：直线OC与直线BA平行； ； ； ，其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个9. 已知| a | = | b | = 2, ab = -2, 且(a + b)(a + b), 则实数的值为（ ） (A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 210已知向量a=（2，3），b=(1,2)，且(a+b)(a-b)，则等于( )A B.- C.-3 D.311给定两个向量，则x的等于（ ）A3BC3D12已知空间向量（1，0），（2，k），则k的值为（ ）ABCD13设向量，且，则实数的值为（ ）A B C D14在中，若为钝角，则的值（ ）A大于且小于B等于 C大于D不能确定15已知向量 a = (2,3) ,b= (-1,2), ma+nb与a-2b共线，则等于 ( ). B.2 C. - D.-216设O为坐标原点，若点P到x轴、y轴的距离之和既不大于2，又不小于1，则的取值范围是 .17已知非零向量、满足，则与夹角的大小为 18 向量a、b满足（ab）（2a+b）=4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于_.19设为非零向量，下列命题中：|=|有相等的模； |=|+|的方向相同；|+|的夹角为锐角； |=|其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）。20若点P分有向线段的比为，则点P1分有向线段所成的比为 1 .21已知，且存在实数k和t，使得，且，则的最小值是 .22设ABC的内角A，B，C成等差数列，且满足条件试判断ABC的形状，并证明你的结论.23已知向量向量与向量夹角为，且. （1）求向量； （2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，其中A，C为ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.24已知平面向量a与b不共线，若存在非零实数x, y，使得（1）当时，求x, y的值；（2）若的表达式.解（1）由条件得：25设、是两个不共线的非零向量（）（1）记那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若，那么实数x为何值时的值最小？解：（1）A、B、C三点共线知存在实数即，则（2）当26（1）已知|=4，|=3，（23）（2+）=61，求与的夹角； （2）设=（2，5），=（3，1），=（6，3），在上是否存在点M，使 ，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）（23）（2+）=61， 又|=4，|=3，=6， =120. （2）设存在点M，且 存在M（2，1）或满足题意.27在ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且（1）求cosB的值；（2）若b=3，求ac的最大值.解：（1）由已知得 ， 又 （2）由余弦定理，得 即 当且仅当时取等号. 所以ac的最大值为9.28.已知函数f(X)=2cos2x+asinxcosx,f(（1）求实数a;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；（3）若函数f(x)的图象按向量m=（(1)f()=0 2cos2+asincos=0 a=-2 (2) f(x)=2cos2x-2sinxcosx=cos2x+1-sin2x =2cos(2x+)+1 T= f(x)的单调增区间为k+,k+(kZ)(3)g(x)=2cos2x29已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图象按向量平移，使函数为偶函数，求m的最小正值.解： （1）函数的单调递减区间是 （2）函数的图象按向量平移后的解析式为：要使函数为偶函数，则又取得最小正值30若的最小值为（1）求的表达式（2）求能使的值，并求出当取此值时的最大值解：（1）=若的最小值为；若，则的最小值为；若， 则的最小值为（2）令， 若， 与矛盾 若= 则或，由则 当时 当时，的最大值为531.已知三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C，其中（1）若，求角的值；（2）若，求的值解：（1）三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C， 由得， 即 ， （2）由得， 即 ， ， 又 ， ， 32已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（），且 （1）求的值； （2）若函数的图像按向量平移后对应的函数为偶函数， 且为最小，求实数m的值.解（1）， （2）易知按向量平移后，函数的解析式为，由为偶函数，故有33已知向量，记 （1）求的定义域、值域及最小正周期； （2）若，其中，求解：（1） 定义域为：；值域为：；最小正周期：（2） 或或