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2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积例题与探究新人教B版必修典题精讲例1 已知cos-cos=,sin-sin=-,求sin(+)的值.思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用,以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除,得tan的值,再用万能公式求sin(+)的值.解:cos-cos=,-2sinsin=.sin-sin=-,2cossin=-.得-tan=-.tan=.sin(+)=.绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时,常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时,常用到积化和差公式.黑色陷阱:受思维定势的影响,如果由已知sin2+cos2=1,sin2+cos2=1联立方程组,分别解得sin,cos,sin,cos的值,那么运算量就明显加大,甚至会陷入困境.变式训练1 已知tan、tan是方程x2+3x-4=0的两个根,求的值.思路分析:利用根与系数的关系,得到tan+tan和tantan,进而得到tan(+).看到cos2+cos2,sin2+sin2是系数相等的同名三角函数的和,用和差化积公式变形.解:由韦达定理得tan+tan=-3,tantan=-4.=-.变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成积的形式.思路分析:所给的式子是四项的和,要化为积的形式,需考虑适当分组,注意到四个角的特征,显然应将cosx和cos4x组到一起,将cos2x和cos3x组到一起,这样可以在分别化积之后产生公因式,提取公因式后再继续化积.解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2coscos+2coscos=2cos(cos+cos)=4coscosxcos.例2(xx重庆高考卷,文17)若函数f(x)=+sinx+a2sin(x+)的最大值为+3,试确定常数a的值.思路分析:考查三角函数公式,以及利用三角函数的有界性来求最值的问题.化简函数f(x)的解析式为Asin(x+)的形式,再确定常数a的值.解:f(x)=+sinx+a2sin(x+)=+sinx+a2sin(x+)=sinx+cosx+a2sin(x+)=sin(x+)+a2sin(x+)=(+a2)sin(x+).f(x)的最大值为+3,sin(x+)的最大值为1,+a2=+3.a=.绿色通道:讨论三角函数的最值问题时,经过三角恒等变换,化归为y=Asin(x+)的形式求解,有时化归为二次函数求解.变式训练 求函数y=cos3xcosx的最值.思路分析:由于是弦函数积的形式,则利用化积公式,将两个角的余弦化为一个角的三角函数值,从而转化为求二次函数的最值.解:y=cos3xcosx=(cos4x+cos2x)=(2cos22x-1+cos2x)=cos22x+cos2x-=(cos2x+)2-.cos2x-1,1,当cos2x=-时,y取得最小值-; 当cos2x=1时,y取得最大值1, 即函数y=cos3xcosx的最大值是1,最小值是-.问题探究问题 1)试分别计算cosA+cosB+cosC-4sinsinsin的值.在等边三角形ABC中;A=60,B=90,C=30;A=120,B=30,C=30.(2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明.(3)利用(2)的结论计算-2cos10-2cos99.8-2cos70.2+8sin5sin49.9sin35.1的值.导思:从A+B+C上归纳并猜想出结论.探究:(1)由题意得A=B=C=60,cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos60+cos60+cos60-4sin30sin30sin30=+-4=1;cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos60+cos90+cos30-4sin30sin45sin15=+0+-4=1;cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos120+cos30+cos30-4sin60sin15sin15=-+-4sin215=-+-(1-cos30)=1.(2)在(1)中A+B+C=180,有cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=1; 在(1)中A+B+C=180,有cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=1; 在(1)中A+B+C=180,有cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=1. 猜想:当A+B+C=180时,有cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin.证明:当A+B+C=180时,有A+B=180-C,即=90-,cosA+cosB+cosC=2coscos+1-2sin2=2cos(90-)cos+1-2sin2=2sincos-2sin2+1=2sin(cos-sin)+1=2sin(cos-cos)+1=2sin(-2)sinsin(-)+1=4sinsinsin+1.cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin.(3)10+99.8+70.2=180,cos10+cos99.8+cos70.2-4sin5sin49.9sin35.1=1.-2cos10-2cos99.8-2cos70.2+8sin5sin49.9sin35.1=-2.
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