2019-2020年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积例题与探究新人教A版必修.doc

2019-2020年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积例题与探究新人教A版必修典题精讲例1若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4.则ab+bc+ac=_思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，先得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式.方法一：a+b+c=0，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0，2(ab+bc+ac)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26，ab+bc+ac=-13.方法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|，c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有ab+bc+ac=3cos0+4cos180+12cos180=3-4-12=-13.答案：-13绿色通道：方法一是将“（a+b）2=a2+2abb2”推广到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac予以解答.变式训练 已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?思路分析：（a+mb）（a-mb）(a+mb)(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)(a-mb)=0.a2-m2b2=0.|a|=5,|b|=12，a2=25,b2=144.25-144m2=0.m=.当且仅当m=时，向量a+mb与a-mb互相垂直.例2(福建高考卷，理11)已知|=1,|=,=0,点C在AOB内，且AOC=30.设=m+n(m、nR)，则等于（ ）A. B.3 C. D.思路分析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线OA、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,).设=(cos30,sin30)=（,),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),得(, )=(m, n) 方法二：=(m+n)2=m2+n2=m2+3n2，|=.由已知得BOC=60，在等式=m+n(m、nR)两端同乘以，得=m，m=|cos30=m2=9n2.由题设知m0,n0,所以=3.答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练（xx福建高考卷，文9）已知向量a与b的夹角为120，|a|=3,|a+b|=,则|b|等于（ ）A.5 B.4 C.3 D.1思路解析：向量a与b的夹角为120，|a|=3,|a+b|=,ab=|a|b|cos120=-|b|，|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2，13=9-3|b|+|b|2，则|b|=-1(舍去)或|b|=4.答案：B例3（福建高考卷，理12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题：（1）若点C在线段AB上，则|AC|+|CB|=|AB|;(2)在ABC中，若C=90,则|AC|2+|CB|2=|AB|2;(3)在ABC中，|AC|+|CB|AB|.其中说法正确的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x非负半轴上的三点A(0,0),C(c,0),B(b,0),0cb,由题设，可得|AC|+|CB|=c+(b-c)=b=|AB|;另外在ABC中，若C=90,取C(0,0),B(1,0), A(0,2) ,则|AC|=2,|BC|=1,|AB|=3,但|AC|2+|CB|2|AB|2，且|AC|+|CB|=|AB|.所以(2)与(3)都不正确.答案：B黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算（操作）上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练（xx陕西高考卷，理9）已知非零向量与满足()=0且=,则ABC为（ ）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形思路解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC.又cosA=，A=，所以ABC为等边三角形.答案：D问题探究问题1任给8个非零实数a1,a2，a8,试探究下列六个数a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中，至少有一个是非负的.导思：观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关，思考时可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题.探究：在直角坐标系xOy中，构造向量、，它们的坐标分别为(a1,a2)、(a3,a4)、(a5,a6)、(a7,a8).显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90，不妨设和的夹角不大于90，则cos,=0,a1a3+a2a40，命题为真.问题2是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?导思：本题是一个探索性问题，解决本题关键在于构造一个正三角形及其内切圆，得到四个向量，这也是本题的难点.然后利用向量之间的关系，运用数量积的运算律论证+与+垂直.探究：如图2-4-3所示，在正ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足、两两不共线，有(+)(+)=(+)(+)=(2+(2+)=(2-)(2+)=4-=0.(+)与(+)垂直.图2-4-3同理可证其他情况.从而、满足题意.故存在4个这样的平面向量.