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2019-2020年高考数学总复习考前三个月附加题高分练4空间向量与立体几何理1(xx苏锡常镇调研)如图,已知正四棱锥PABCD中,PAAB2,点M,N分别在PA,BD上,且.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角NPCB的余弦值解(1)设AC,BD交于点O,在正四棱锥PABCD中,OP平面ABCD,又PAAB2,所以OP.以O为坐标原点,方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,如图则A(1,1,0),B(1,1,0),C(1,1,0),D(1,1,0),P(0,0,),(1,1,)故,所以,(1,1,),所以cos,所以异面直线MN与PC所成角的大小为.(2)由(1)知(1,1,),(2,0,0),.设m(x,y,z)是平面PCB的法向量,则m0,m0,可得令y,则z1,即m(0,1)设n(x1,y1,z1)是平面PCN的法向量,则n0,n0,可得令x12,则y14,z1,即n(2,4,),所以cosm,n,则二面角NPCB的余弦值为.2(xx常州期末)如图,以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中OxBC,OyAB,E为VC的中点正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos,.(1)求的值;(2)求二面角BVCD的余弦值解(1)根据条件,可得B(a,a,0),C(a,a,0),D(a,a,0),V(0,0,h),E,所以,故cos,.又cos,则,解得.(2)由,得,且容易得到,(2a,0,0),(0,2a,0)设平面BVC的法向量为n1(x1,y1,z1),则即则取y13,z12,则n1(0,3,2)同理可得平面DVC的一个法向量为n2(3,0,2)cosn1,n2,结合图形,可以知道二面角BVCD的余弦值为.3(xx南京学情调研)如图,在底面为正方形的四棱锥PABCD中,侧棱PD底面ABCD,PDDC,E是线段PC的中点(1)求异面直线AP与BE所成角的大小;(2)若点F在线段PB上,且使得二面角FDEB的正弦值为,求的值解(1)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PD底面ABCD,所以DA,DC,DP两两垂直,故以,为正交基底,建立空间直角坐标系Dxyz.因为PDDC,所以DADCDP,不妨设DADCDP2,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0)因为E是PC的中点,所以E(0,1,1),所以(2,0,2),(2,1,1),所以cos,从而,.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知,(0,1,1),(2,2,0),(2,2,2)设,则(2,2,2),从而(2,2,22)设m(x1,y1,z1)为平面DEF的法向量,则即取z1,则y1,x121.故m(21,)为平面DEF的一个法向量,设n(x2,y2,z2)为平面DEB的法向量则即取x21,则y21,z21.所以n(1,1,1)为平面BDE的一个法向量因为二面角FDEB的余弦值的绝对值为,即|cosm,n|,化简得421.因为点F在线段PB上,所以01,所以,即.4.(xx苏北四市一模)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABCBAD90,ADAP4,ABBC2,M为PC的中点(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求的值解(1)因为PA平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD.又因为BAD90,所以PA,AB,AD两两互相垂直分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则由AD2AB2BC4,PA4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4)又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2)所以(1,1,2),(0,0,4),所以cos,所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.(2)因为AN,所以N(0,0)(04),则(1,1,2),(0,2,0),(2,0,4)设平面PBC的法向量为m(x,y,z),则即令x2,解得y0,z1,所以m(2,0,1)是平面PBC的一个法向量因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos,m|,解得10,4,所以的值为1.
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