《凸集分离定理》PPT课件.ppt

集合,内点：,补集：,开集：,闭集：,有界集 ：,紧集：,有界闭集称为紧集,-邻域：,性质：,定义：设SEn,若对x(1),x(2)S及0,1,都有 x(1)+(1-)x(2)S 则称S为凸集。,凸集分离定理,定义：,定理1：,证明：,定理1：,证明：,定理1：,证明：,定理1：,证明：,定理2:,证明：,定理3:,证明：,推论4:,定理5:,证明：,定理6:,Farkas定理：,证明：,Farkas定理：,Gordan定理：,证明：,Gordan定理：,证明：,证法正确吗？,凸函数,凸函数：设S是En中的非空凸集， f(x)是定义在S上的实函数，如果对于每一对x1，x2S及每一个a，0a1,都有 f(ax1+(1a)x2)a f(x1)+(1a)f(x2) 则称函数f(x)为S上的凸函数上式中，若变为，则称为严格凸函数。 若-f(x)为S的凸函数，则称f(x)为S上的凹函数,凸函数性质,(1) 设f1(x)，f2(x)是凸集S上的凸函数，则函数f1(x)+f2(x)在S上也是凸函数。 (2) 设f(x)是凸集S上的凸函数，则对任意的a0，函数af(x)是凸的。 推广：设f1(x)，f2(x), , fk(x)是凸集S上的凸函数，ai0,则a1f1(x)+a2f2(x)+ + akfk(x)也是凸集S上的凸函数. (3) 设f(x)是凸集S上的凸函数，对每一个实数c，则集合 Scx | xS，f(x)c是凸集。,(4)设S是En中的非空凸集，f是定义在S上的凸函数，则f在 S上的局部极小点是整体极小点，且极小点的集合是凸集,证明：,凸函数的判别,梯度：,Hesse矩阵：,方向导数,方向导数通常用下面的公式计算：,定理(一阶充要条件)：,证明：,几何意义,f(x)是凸函数当且仅当任意点处的切线增 量不超过函数的增量。,证明：,例：判断下列函数是否为凸函数.,凸规划,凸规划：求凸函数在凸集上的极小点。,性质：凸规划的局部极小点就是整体极小点， 且极小点的集合为凸集。,