2019-2020年高中数学第1章立体几何折叠问题复习教案新人教A版必修2.doc

2019-2020年高中数学第1章立体几何折叠问题复习教案新人教A版必修2教学目的：理解空间几何体的结构，掌握翻折前后平面与立体图形的区别，通过复习空间图形的折叠变化培养学生的空间想象能力教学重点难点：折叠问题的破解方法教学过程：一引入问题折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量关系，这类问题由于涉及到平面到空间的动态变化，对空间想象能力，识图能力及分析能力要求均较高，是近年来高考的热门题型，要解决好此类问题应从哪些方面入手？二提出解决方案解决翻折问题可以从以下三个步骤考虑：第一步：看两图两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，有时候题目中可能只给出平面图形，这就需要我们自己去画立体图形，我们应该对比两个图形，思考下面的问题；（1） 折痕是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是引发后面问题的“罪魁祸首”，呵呵，这么说只是强调一下折痕的重要地位，盐打哪儿咸，醋打哪儿酸，解决折叠问题的思维起点，位置与数量关系的变化皆与折痕有关，要明确一点：位于折痕同一侧的点，线的关系是不变的； （2） 折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。（3） 折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？第二步：挖掘折叠特征折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，我们应该充分理解、挖掘这个特征，常见的折叠特征有以下三种：（1）将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况我们就应该找到这个二面角的平面角，在立体图中标出；（2）使几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的；比如若A,B两点重合记为点P的话，我们可以在图上标记为P(A,B),这样便于翻折前后的对比；（3）使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点；第三步：结合问题，寻找不变量通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间形态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来寻找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变的垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系“这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些量是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！上述三步曲是解决折叠问题的总的规律，在实际解题中应灵活运用，下面举例说明在解题中，我们如何走好这“三步”，重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的。三例题选讲（一）不变的垂直关系例1：如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，将和沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P,求(1) 求证：；（2）二面角P-CD-E的度数;分析：从翻折的过程可以看出，这两个垂直关系是不变量，而翻折后A,B重合为P，故在立体图中有，问题得解；解：（1）由翻折过程可知，故；（2）取CD中点F,连接PF,FE,在原平面图形中，AD=BC,ED=EC,翻折后A,B重合为P,故PD=PC,可知,则是二面角P-CD-E的平面角，设正方形边长为a，得，则二面角P-CD-E的度数为30（二）不变的长度关系例2（xx安徽文）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为（）分析：原题是没有图的，需要我们自己画出前后两个图形，折叠特征是直二面角，哪个角是它的平面角？这两组垂直关系是不变的，故就是二面角的平面角，则，那么如何确定A,B,C,D四点所在的球心呢？找不变量！通过比较两图可以发现，折叠前A、B、C、D四点是共面的，翻折后不再共面，这是变化的量，而正方体中心O到四个顶点的距离是不变的，即在折叠前后中始终有，所以O就是翻折后四点所在球的球心，易得该球半径，而D,B两点在球中所对球心角为，球面距离，故选B.（三）不变的平行关系例3： （xx高考辽宁卷）已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，求证：分析：要证明,只需证明BF与内的一条直线平行即可，而比较翻折前后的图形可以发现，这个平行关系是不变量，命题得证；解：、分别是正方形的边、的中点，则四边形是平行四边形平面而平面平面练习：（1）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积是（ ）（2）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度为 （ ） A90B60C （D）（3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为(A) (B) (C) (D) （4）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）M为矩形AEFD内的一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为1/2，那么点M到直线EF的距离为_。答案：（1）选D 提示：画出翻折前后的图形，可知不变量有和而，可得,则三棱锥体积（2）选B 分析：画出折叠后的立体图形，因为A,B,C三点重合为S,翻折过程中不变量是，故GH与IJ所成角就是，大小为60。 (3)选 C 提示：由已知易得均为正三角形，而翻折后A,B重合为P,故三棱锥P-CDE实际为正四面体，计算可得外接球半径R=，（4）填 提示：由MBE=MBC，可知M在平面EFCB内的射影在的平分线上，而，故M的射影应该在原正方形的对角线BD上，因为翻折特征是直二面角，设M在平面EFCB内的射影是N,即,由面面垂直的性质定理可知，N必在EF上，且BN=，MB和平面BCF所成角即,得,故M到直线EF的距离为。四拓展与思考（xx年温州市二模）20（本题满分14分）已知矩形中，分别在，上，且，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上（第20题图）（I）求证：平面；（II）求二面角的大小5 作业布置完成相应内容的专题训练