2019-2020年高三数学一轮复习阶段检测卷四立体几何理.doc

2019-2020年高三数学一轮复习阶段检测卷四立体几何理(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.ABC所在的平面为,直线lAB,lAC,直线mBC,mAC,则两不同直线l,m的位置关系是() A.相交B.异面C.平行D.不确定2.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,给出下列5个图形:其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是()A.5B.4C.3D.23.下列命题中正确的是()A.若直线l平行于平面内的无数条直线,则lB.若直线a在平面外,则aC.若直线ab,b,则aD.若直线ab,b,则a平行于平面内的无数条直线4.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于()A.B.1C.D.5.下图是一个几何体的三视图,若它的表面积为7,则正视图中a=()A.1B.C.D.26.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,A1A=AC=2,BC=1,AB=,则此三棱柱的侧视图的面积为()A.2B.4C.D.27.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.8.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD1的中点,三棱锥O-ABD的体积为V1,四棱锥O-ADD1A1的体积为V2,则的值为() A.B.C.1D.9.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是()A.B.C.D.10.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列五个结论:PD平面AMC;OM平面PCD;OM平面PDA;OM平面PBA;OM平面PBC.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.411.已知球O的表面积为20,A,B,C三点在球面上,且ABBC,AB=BC,AC=2,则三棱锥C-AOB的高为()A.B.C.2D.112.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,点M为AB1的中点,点P为体对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD内的动点(点P,Q可以重合),则MP+PQ的最小值为()A.B.C.D.1123456789101112得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.一个几何体的三视图如图所示,已知此几何体的体积为10,则h=.14.如图,已知圆锥SO的母线SA的长度为2,一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短路程为2,则圆锥SO的底面半径为.第14题图第15题图15.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.16.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且+8(a0)恒成立,则正实数a的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形;(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,ABDC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上一点,且SE=2EB.(1)证明:DE平面SBC;(2)求二面角A-DE-C的大小.19.(本小题满分12分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CBA=,四边形ABEF为直角梯形,BEAF,BAF=,BE=2,AF=3,平面ABCD平面ABEF.(1)求证:AC平面ABEF;(2)求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)如图,在几何体ABCDEF中,ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60,四边形ACFE为矩形,FB=,M,N分别为EF,AB的中点.(1)求证:MN平面FCB;(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30,求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值.21.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADDC,BC=2AD=2DC,四边形ABEF是正方形.将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1平面ABCD,M为AF1的中点,如图2.(1)求证:BE1DC;(2)求BM与平面CE1M所成角的正弦值;(3)判断直线DM与CE1的位置关系,并说明理由.22.(本小题满分12分)已知四边形ABCD是矩形,BC=kAB(kR),将ABC沿着AC翻折,得到AB1C,设顶点B1在平面ABCD上的射影为O.(1)若点O恰好落在AD上.求证:AB1平面B1CD;若B1O=1,AB1,当BC取到最小值时,求k的值.(2)当k=时,若点O恰好落在ACD的内部(不包括边界),求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围.阶段检测四 立体几何一、选择题1.ClAB,lAC,ABAC=Al;mBC,mAC,BCAC=Cm,故lm.2.B由题知可以作为该几何体的俯视图的图形有,共4个.故选B.3.D选项A中,若直线l在平面内,则l与不平行,故选项A不正确;选项B中,有可能a与相交,故选项B不正确;选项C中,有可能a,故选项C不正确;选项D中,易知a或a,所以a平行于平面内的无数条直线,故选项D正确.4.D由题意可知该正方体的放置方式如图所示,侧视的方向垂直于面BDD1B1,正视的方向垂直于面A1C1CA,且正视图是长为,宽为1的矩形,故正视图的面积为,因此选D.5.D由三视图可知该几何体为圆柱与圆锥的组合体,则其表面积S=21a+12+1=2a+3=7,所以a=2.6.C如图,过点C作CDAB于点D,过点C1作C1D1A1B1于D1,连接D1D,易知三棱柱的侧视图为矩形CDD1C1.在ABC中,AC=2,BC=1,AB=,所以AC2+BC2=AB2,ACBC,所以ACBC=ABCD,即21=CD,所以CD=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的侧视图的面积S=CC1CD=2=.7.B由题意可知该几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥组成的,其中该直三棱柱的底面是直角边长分别为1,2的直角三角形,高为1,该三棱锥的底面是直角边长分别为1,2的直角三角形,高为1,因此该几何体的体积为211+211=,故选B.8.A设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则V1=abc=,V2=bca=,所以=.9.C设圆柱甲的底面半径为r1,高为h1,圆柱乙的底面半径为r2,高为h2.由题意得=,=.又S甲侧=S乙侧,即2r1h1=2r2h2,=,故=.10.C矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以O为BD的中点.在PBD中,M是PB的中点,所以OM是PBD的中位线,OMPD,则PD平面AMC,OM平面PCD,且OM平面PDA.因为MPB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.11.A球O的表面积为20,球O的半径为.设三棱锥C-AOB的高为h.点O在平面ABC上的射影为点O,易得O为AC的中点,连接BO,OO.ABBC,AB=BC,AC=2,BO=,OO=,AB=BC=2.易知SOAB=22=2,SABC=22=2.由V三棱锥C-AOB=V三棱锥O-ABC,即2h=2,解得h=.12.C易知当MP+PQ最小时,PQ平面ABCD.过点P作PQ1平面ABB1A1于点Q1,易知Q1在AB1上,由对称性可知,当PQ平面ABCD时,PQ=PQ1,因此(PM+PQ)min=(PM+PQ1)min,问题转化为在平面AB1C1内,在AC1上找一点P使得PM+PQ1的值最小, 如图所示,过点M作MM1AC1交直线AC1于点O,且OM1=OM,则点M1为点M关于直线AC1的对称点,过点M1作M1Q1AB1交AB1于点Q1,交AC1于点P,则M1Q1的长度即为所求的最小值,易得C1AB1=30,所以OM=AM=,MM1=,M1Q1=MM1=,即MP+PQ的最小值为.二、填空题13.答案解析由三视图可知该几何体是四棱锥,有一条侧棱与底面垂直,底面积S=56=30,体积V=Sh=10h=10,解得h=.14.答案解析该圆锥的侧面展开图是半径为2的扇形,如图所示,易知一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短路程为弦BB的长,为2,所以扇形的圆心角为.设圆锥的底面半径为r,则2r=2,解得r=.15.答案平行四边形解析平面ABFE平面DCGH,平面EFGH平面ABFE=EF,平面EFGH平面DCGH=HG,EFHG.同理,EHFG,四边形EFGH是平行四边形.16.答案1解析PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,VP-ABC=321=+x+y,即x+y=,则2x+2y=1.+=(2x+2y)=2+2a+2+2a+48,(+1)24,+12,解得a1,正实数a的最小值为1.三、解答题17.解析(1)证明:由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1.由于BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理,EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形.又ADDC,ADBD,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形.(2)解法一:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量为n=(x,y,z),EFAD,FGBC,n=0,n=0,得可取n=(1,1,0),sin =|cos|=.解法二:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E是AB的中点,F,G分别为BD,DC的中点,得E,F(1,0,0),G(0,1,0).=,=(-1,1,0),设平面EFGH的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0,得可取n=(1,1,0),又=(-2,0,1),sin =|cos|=.18.解析(1)证明:SD底面ABCD,SDAD,SDDC,又ADDC,因此可以分别以DA,DC,DS所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图),连接BD.则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2),=(1,1,0),=(0,0,2),SE=2EB,=+=(1,1,0)+(0,0,2)=,又=(-1,1,0),=(-1,-1,2),=0,=0,又BCBS=B,DE平面SBC.(2)由(1)知,DE平面SBC,EC平面SBC,DEEC.=,E,=.取DE的中点F,连接FA,则F,=,有=0,故FADE,向量与的夹角等于二面角A-DE-C的平面角,又cos=-,二面角A-DE-C的大小为120.19.解析(1)在ABC中,AB=1,CBA=,BC=2,所以AC2=BA2+BC2-2BABCcosCBA=3,所以AC2+BA2=BC2,所以ABAC.又因为平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABCD,所以AC平面ABEF.(2)如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,),D(-1,0,),E(1,2,0),F(0,3,0),=(0,3,0)是平面ABCD的一个法向量.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),又=(2,2,-),=(1,3,-),则得取z=4,则x=y=,故n=(,4)是平面DEF的一个法向量.设平面ABCD与平面DEF所成的锐二面角为,则cos =.20.解析(1)取BC的中点Q,连接NQ,FQ,则NQ=AC,NQAC.又MF=AC,MFAC,MF=NQ,MFNQ,则四边形MNQF为平行四边形,则MNFQ.FQ平面FCB,MN平面FCB,MN平面FCB.(2)由ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60可得ACB=90,AC=,AB=2.四边形ACFE为矩形,ACFC,又ACCB,FCCB=C,AC平面FCB,则AFC为直线AF与平面FCB所成的角,即AFC=30,FC=3.FB=,FCBC.则可建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,A(,0,0),B(0,1,0),M.则=,=.设m=(x,y,z)为平面MAB的法向量,则即取x=2,则m=(2,6,1)为平面MAB的一个法向量.又=(,0,0)为平面FCB的一个法向量,cos=.平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为.21.解析(1)因为四边形ABE1F1为正方形,所以BE1AB.因为平面ABCD平面ABE1F1,平面ABCD平面ABE1F1=AB,BE1平面ABE1F1,所以BE1平面ABCD,所以BE1DC.(2)以点B为坐标原点,分别以BC,BE1所在的直线为x轴,z轴,以平面BCE1的垂线(过点B)为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,设AD=1,则B(0,0,0),C(2,0,0),E1(0,0,),M.所以=,=(-2,0,),=.设平面CE1M的法向量为n=(x,y,z).由得令x=1,得z=,y=0,所以n=(1,0,)是平面CE1M的一个法向量.设BM与平面CE1M所成的角为,则sin =|cos|=.所以BM与平面CE1M所成的角的正弦值为.(3)直线DM与直线CE1平行.理由如下:由题意及(2)得,D(2,1,0),=,=(-2,0,).所以=2.所以.因为DM,CE1不重合,所以DMCE1.22.解析(1)点B1在平面ABCD上的射影为O,点O恰好落在AD上,平面AB1D平面ACD,又平面AB1D平面ACD=AD,CDAD,CD平面AB1D,AB1CD,又AB1CB1,CDCB1=C,AB1平面B1CD.设AB=x,BC=y,则k=.由知,AB1B1D,则AB1B1D=ADB1O,故B1D=,由知CDB1D,在RtB1CD中,B1D2+CD2=B1C2,故+x2=y2,整理得y=2,当且仅当x2-1=,即x=时取等号,当BC取到最小值时,k=.(2)作BFAC,交AC于E,交AD于F,连接B1E,当点O恰好落在ACD的内部(不包括边界)时,点O恰好在线段EF上(不包括端点),又B1EAC,EFAC,B1EF为二面角B1-AC-D的平面角,设AB=1,则BC=,B1E=,EO,cosB1EF=,故二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围为.