2019-2020年高三数学第二轮专题复习参数取值问题的题型与方法人教版.doc

2019-2020年高三数学第二轮专题复习参数取值问题的题型与方法人教版要点综述：本讲从对历年高考题的剖析来领会分类讨论思想方法，发展数学思维，提高解题能力.求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们先展示xx年高考中参数取值问题的试题，再分四个方面来探讨。（）xx年参数取值问题综合题选1（xx年高考上海卷理科（19）记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定义域为B.（）求A；（）若BA, 求实数a的取值范围.解：(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a1或a2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(,2,1) 2（xx年高考辽宁卷（18）设全集U=R解关于x的不等式（）记A为（1）中不等式的解集，集合，若（ A）B恰有3个元素，求a的取值范围.解：（1）由当时，解集是R；当时，解集是 （2）当时，（ A）=；当时， A= 因由 当（ A）B怡有3个元素时，a就满足 解得 说明：本题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力。3（xx年高考辽宁卷（22）已知函数.（）求函数的反函数的导数（）假设对任意成立，求实数m的取值范围.（I）解：由y=f(x)=ln(exa)得x=ln(eya)，所以y=f1(x)=ln(exa)（xlna）(II)解法一：由0得m即对于xln(3a)，ln(4a)恒有em 设t= ex，u(t)=，u (t)=，于是不等式化为u(t)emu (t) t3a，4a 当t1t2，t1、t23a，4a时，u(t2)u(t1)=0所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于 由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式成立当且仅当即 4（xx年高考浙江卷文科（21）已知a为实数，（）求导数；（）若，求在-2，2 上的最大值和最小值；（）若在（，2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围.解: ()由原式得 ()由 得,此时有.由得或x=-1 , 又 所以f(x)在-2,2上的最大值为最小值为 ()解法一: 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得 即 -2a2. 所以a的取值范围为-2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x-2或x2时, 0, 从而x1-2, x22, 即 解不等式组得: -2a2. a的取值范围是-2,2.5（xx年高考浙江卷文科（22）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1.（）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（）当时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程. 解: ()由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以得. 2,解得+1m3或-1m1-.m的取值范围是()可设双曲线方程为由得.又因为M是APQ的内心,M到AP的距离为1,所以MAP=45,直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为.直线AP的方程y=x-1,解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为即6.(xx年高考重庆卷理科（20）)设函数（）求导数; 并证明有两个不同的极值点; （）若不等式成立，求的取值范围.解：（I） 因此是极大值点，是极小值点.（II）因 又由（I）知代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 （）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等价于或，解得a8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在1，1内单调递减。只需f(1)0,即a2.(下同)例2已知函数f(x)在定义域（，1上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinxk2sin2x1对于任意xR恒成立，这又等价于对于任意xR恒成立。不等式（1）对任意xR恒成立的充要条件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）对任意xR恒成立的充要条件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例3设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解1：当直线垂直于x轴时，可求得；当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则 令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以，解得.结合得. 综上，.说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例4（xx年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1 x42，则的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D)图1图2分析: 高中数学课程标准提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以由于在四个选择支中只有C含有，故选Cxyo12y1=(x-1)2y2=logax当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示） 说明 由本题可见, 0年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位这也是选择题的应有特点例5当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga21,a1,10，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.例8.设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)当=4（a1)(a+2)0时，即2a0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a8.解法2（利用根与系数的分布知识）：4oxy即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=20,符合题意。a=8.20. 0,即a0时，f(0)=40,故只需对称轴，即a4.a0,y0,x,yZ）。计年利润为s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线0.6x+2xs0截距的最大值。过点A作0.6x+2y=0的平行线即可求出s的最大值。联立得A（18,12）。将x18，y12代入s0.6x+2y求得Smax34.8。设经过n年可收回投资，则11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。学校规模初中18个班级，高中12个班级，第一年初中招生6个班300人，高中招生4个班160人。从第三年开始年利润34.8万元，大约经过36年可以收回全部投资。说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济效益不明显。五、强化训练1（南京市xx年高三年级第一次质量检测试题） 若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”依此规定， 能说明，“线性相关”的实数依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况） 2已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。3设函数f(x)=2x-12-x-1,xR,若当0时，f(cos2+2msin)+f(2m2)0恒成立，求实数m的取值范围。4已知关于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。5试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。6某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本3020300劳动力 （工资）510110单位利润68 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？8发电厂主控室的表盘，高m米，表盘底边距地面n米。问值班人员坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2米）9. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？六、参考答案1分析：本题将高等代数中维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了个平面向量线性相关在解题过程中，首先应该依据定义，得到，即，于是，所以即则所以，的值依次可取（是不等于零的任意实数）2分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.3分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断f(x)的奇偶性和单调性，不难证明，在R上f(x)是奇函数和增函数，由此解出cos2+2msin0,t0,1-(*)恒成立时，求实数m的取值范围。接下来，设g(t)=t22mt+(2m+1),按对称轴t=m与区间0，1的位置关系，分类使g(t)min0,综合求得m.本题也可以用函数思想处理，将（*）化为2m(1t)(t2+1),t0,1当t=1时，mR;当0th(t)=2(1t)+,由函数F（u)=u+在（1，1上是减函数，易知当t=0时，h(x)max=1, m,综合（1）、（2）知m。说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。4分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),从而得x2+20x=8x6a30,注意到若将等号两边看成是二次函数xyl1l2l-20oy= x2+20x及一次函数y=8x6a3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（20，0）此时纵截距为6a3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为6a3=0，a=a的范围为，）。5解：（1）当时，方程化为，表示轴。 （2）当时，方程化为，表示轴 （3）当时，方程为标准形式： 当时，方程化为表示以原点为圆心，为半径的圆。 当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为 当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为 当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为 当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为 6解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P6x+8y 由题意：30x+20y 300 5x+10y110 x0，y0 x、y均为整数 画图知直线 y3/4x1/8P 过M（4,9）时，纵截距最大，这时P也取最大值Pmax648996（百元）故：当月供应量为：空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元。7解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）则目标函数为S0.5x+0.4y 且x，y满足 ： 6x+3y8 4x+7y10 x0 ，y0画图可知，直线 y5/4x+5/2S过A（13/15,14/15）时，纵截距5/2S最小，即S最小。故每盒盒饭为13/15百克，米食14/15百克时既科学又费用最少。8解答从略，答案是： 值班人员的眼睛距表盘距离为 （米）。本题材料背景:仪表及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着生产内部过程，并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。这就要在值班人员和仪表及工业电视之间，建立某种紧密的联系，联系的纽带是值班人员的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人员的座位，才能避免盲目性。9.解：假设围栏的边长为x米和玉米，于是由题设可知x0，y0，且xy144 （1）2x+y50 （2）双曲线xy144在第一象线内的一支与直线2xy50的交点是A（），B（），满足条件（1）、（2）的解集是在双曲线xy144（），这一段上的点集（即如图中双曲线A、B之间的一段），当过双曲线A、B之间上的任一点作一点作直线2xyk（k0）就是相应需用铁丝网的长度，直线2x+y=k（k0）与双曲线xy144相切。这时，相应的k值最小，消去y得x的二次方程： ，从0得， 即k24（米）所需用铁丝网的最短长度为24米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点A的纵坐标给出，即米，利用墙的最短长度由B纵坐标给出，即米。