2019-2020年高中数学选修本(理科)复合函数的导数(1).doc

2019-2020年高中数学选修本(理科)复合函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：；2.法则1 法则2 , 法则3 二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量2.求函数的导数的两种方法与思路：方法一：；方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，两个导数相乘，得 ， 从而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yx时，就可以转化为求yu和ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(u) (x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量x，则对应的u，y分别有增量u，y，因为u=(x)在点x可导，所以u= (x)在点x处连续.因此当x0时，u0.当u0时，由. 且.即 (当u0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？； ； 解：函数由函数和复合而成；函数由函数和复合而成；函数由函数和复合而成；函数由函数、和复合而成说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等例2写出由下列函数复合而成的函数：，；，解：； 例3求的导数解：设，则 注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f(x)=sinx2的导数.解：令y=f(x)=sinu; u=x2=(sinu)u(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)的导数.分析: 设u=sin(2x+)时，求ux，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+=yu(uvvx)yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即yx=2sin(4x+)例6求的导数.解：令y=，u=ax2+bx+c=()u(ax2+bx+c)x=(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=即yx=例7求y=的导数.解：令=()u()x即yx=例8 求y=sin2的导数.解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=vx=(u2)u(sinv)v()x=2ucosv=2sincos=sinyx=sin例9 求函数y=(2x23)的导数.分析: y可看成两个函数的乘积，2x23可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.解：令y=uv，u=2x23，v=, 令v=，=1+x2 = (1+x2)x=yx=(uv)x=uxv+uvx=(2x23)x+(2x23)=4x即yx= 四、课堂练习：1求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)2解：(1)令y=u4，u=5x3=(u4)u(5x3)x=4u35=4(5x3)35=20(5x3)3(2)令y=u5，u=2+3x=(u5)u(2+3x)x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2x2=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2x2)2(2x)=6x(2x2)2(4)令y=u2，u=2x3+x=(u2)u(2x3+x)x=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(nN*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nx=(sinu)u(nx)x=cosun=ncosnx(2)令y=cosu，u=nx=(cosu)u(nx)x=sinun=nsinnx(3)令y=tanu，u=nx=(tanu)u(nx)x=()un=n=nsec2nx(4)令y=cotu，u=nx=(cotu)u(nx)x=()un=n=n=ncsc2nx五、小结 ：复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：