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2019-2020年高中数学 导数及其应用-函数的单调性教案 苏教版选修2-2教学目标知识与技能:借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的 单调性;过程与方法:通过本节的学习,掌握利用导数判断函数单调性的方法;情感、态度与价值观:通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程,体会知识间的相互联系和运动变化的观点,提高理性思维能力.教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性;教学难点:利用导数的符号判断函数的单调性;判断复合函数的单调区间及应用.教学过程一、自学导航1情境:(1) 必修一中,如何定义函数单调性的? (2)如何用定义判断一些函数的单调性?一般地,设函数 f(x) 的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数2 问题:能否用定义法讨论函数的单调性?学生活动1 讨论函数的单调性.解:取x1x2,x1、x2R, 取值f(x1)f(x2)(x124x1+3)(x224x2+3) 作差(x1x2)(x1x24) 变形当x1x22时,x1x240,f(x1)f(x2), 定号yf(x)在(, 2)单调递减 判断当2x1x2时, x1x240,f(x1)f(x2),yf(x)在(2, )单调递增综上所述yf(x)在(, 2)单调递减,yf(x)在(2, )单调递增.2. 研究函数的导函数值的符号与单调性之间的关系.2、 探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到:在区间(2,)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即0时,函数y=f(x) 在区间(2,)内为增函数;在区间(,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0时,函数y=f(x) 在区间(,2)内为减函数.定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数. 如果在这个区间内0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内0(或0,f(x)为增函数;在,1上(x)0,f(x)为减函数.所以所求f(x)的单调增区间为(,和1,+),单调减区间为,1.变式题1:求函数的单调区间 答案:增区间为,减区间为变式题2:设函数求函数的单调区间;解:由,得, 若,则当时,函数单调递减, 当时,函数单调递增, 若,则当时,函数单调递增, 当时,函数单调递减.点评:(1)注意定义域和参数对单调区间的影响; (2)同一函数的两个单调区间不能并起来; (3)求函数的单调区间,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法, 但它是一种一般性的方法.例2 若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是 . 答案:变式题1:若函数有三个单调区间,则实数的取值范围是 . 答案:变式题2:若函数在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增, 则实数的值是 . 答案:-5变式题3:若函数在上既不是单调递增函数也不是单调递减函 数,则整数的值是 . 答案:-1变式题4:若函数的单调递减区间是,则则实数的值 是 . 答案:-8xyO图1xyOxyOxyOyOx例3 设函数在定义域内可导,的图象如图1所示,则导函数可能为 答案:变式题1:如果函数的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:函数在区间内单调递增;函数在区间内单调递减;函数在区间内单调递增;函数的单调递增区间是则上述判断中正确的是_答案:-22O1-1-11变式题2:已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是 答案: O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124备选例题:已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;(3)求证:解:(1) 当时,的单调增区间为,减区间为;当时,的单调增区间为,减区间为;当时,不是单调函数(2)得,在区间上总不是单调函数,且 由题意知:对于任意的,恒成立,所以,(3)令此时,所以,由()知在上单调递增,当时,即,对一切成立,则有,四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案:(0, 2. 已知函数在定义域内可导,其图象如图,记的导函数为,则不等式的解集为 . 3. 若函数在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为 .答案:a3 4. 讨论函数的单调性. 答案:函数在上单调递增;在上单调递增五、回顾小结1. 判断函数单调性的方法;2.导数符号与函数单调性之间的关系;3.利用导数确定函数的单调性的步骤.分层训练1.函数y=8x2-lnx的单调递增区间是 . 答案: 2已知,奇函数在上单调,则字母应满足的条件是 答案:a=c=0,3.已知函数在(,+)上是增函数,则m的取值范围是 .答案:2m44.若函数在定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数k的取值范围是 .答案:5. 已知函数,设求函数的单调区间;解:,(1)若,由,在上单调递增. 由,在上单调递减.的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)若,则在上恒成立,在上单调递增.6.已知函数若函数在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围 答案:(-5,-1)六、拓展延伸1.已知函数在上是增函数,在(0,2)上是减函数,且方程 f (x)=0有三个根,它们分别是. (1)求c的值; (2)求证:; (3)求的取值范围.(1)解:,由条件知,.(2)证明:由得, f (x)在(0,2)上是减函数,即,又.(3)解: 由 f (x)=0有三个根分别是,是方程的两根 ,由(2)可知.2.已知,函数.(1)当a=1时,求函数f (x)的单调递增区间;(2)函数f (x)是否在R上单调递减,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由;(3)若函数f (x)在上单调递增,求a的取值范围.解: (1) 当a=1时, . 令即,即, 解得. 所以函数f (x)的单调递增区间是.(2) 若函数f(x)在R上单调递减,则对都成立,所以对都成立, 即对都成立., 解得.当时, 函数f (x)在R上单调递减. (3) 解法一:函数f(x)在-1,1上单调递增,对都成立, 对都成立. 令,则, 解得.解法二: 函数f (x)在上单调递增,对都成立, 对都成立. 即对都成立.令, 则.当时,;当时,.在上单调递减,在上单调递增.,在上的最大值是1. 7、 课后作业八、教学后记:
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