2019-2020年高考数学 第十三节 函数的应用教材.doc

2019-2020年高考数学 第十三节 函数的应用教材教 材 面 面 观常见函数模型的增长变化情况：(1)一次函数模型：f(x)_(k，b为常数，k0)，当k0时，f(x)为增函数，这个函数的增长速度是均匀的，我们常常用“直线上升”来形容一次函数模型的这个增长性质；(2)反比例函数模型：f(x)_(k，b为常数，k0)，当k0时，f(x)在(0，)上是减函数(根据函数性质可知，f(x)在(，0)上也是减函数)，而且在(0，)上，f(x)递减的速度越来越缓慢；(3)二次函数模型：f(x)_(a，b，c为常数，a0)，当a0时，f(x)在，)上是增函数，且增长速度是变化的；(4)指数函数模型：f(x)_(a，b，c为常数，a0，b0，且b1)，当a0，b1时，f(x)是增函数，且增长的速度越来越快，底数越大，增长速度越惊人我们常用“指数爆炸”来形容这个性质；(5)对数函数模型：f(x)_(m，n，a为常数，m0，a0，且a1)，当m0，a1时，f(x)是增函数，但是增长的速度越来越缓慢，底数越大，这个情况越明显我们常用“对数平缓”来形容这个性质；(6)幂函数模型：f(x)_(a，n，b为常数，a0，n0)当a0，n0时，f(x)在(0，)上是增函数，且增长的快慢程度与指数n密切相关答案kxbbax2bxcabxcmlogaxnaxnb考 点 串 串 讲1三种函数模型的性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升随n值而不同2.函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)增长速度的对比(1)对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于指数函数增长速度快于幂函数的增长速度，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.(2)对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有xnlogax.(3)在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.3解答函数应用题的一般步骤是第一步：阅读题目中的文字叙述，理解叙述中所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义审题时要抓住题目中的关键量，要勇于探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实际问题向数学问题的转化第二步：引进数学符号，建立数学模型一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果第四步：再转设成具体问题作出解答这个过程也可用以下框图表示：4解答应用题的关键解答应用题的关键在于审题上，而要准确理解题意，又必须过好三关：(1)通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口(2)将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表示数学关系(3)在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力5函数模型的确定利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法：(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；(2)利用待定系数法，确定具体函数模型；(3)对选定的函数模型进行适当的评价、比较、并选择最恰当的模型；(4)根据实际问题对模型进行适当的修正6数学拟合过程中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析观察，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就可以设这些因素不需考虑(2)降低解题难度虽然每一个解题者的能力不同，但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解.典 例 对 对 碰题型一 二次函数模型例1某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高解析设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金总收入为y(202x)(30010x)，xN.这个二次函数图象的对称轴为x10,202x40.当x10时，y最大值(2020)(300100)8000.答：将房间租金提高到40元/间时，客房租金总收入最高，每天为8000元点评本题中自变量为正整数，要结合二次函数的对称性，确定何时取最大值，若求出对称轴为xa，n是整数，则xn，n1可能都符合题意，总之要注意二次函数的对称性并结合定义域来解决问题.变式迁移1有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为()A1000米2B2000米2C2500米2 D3000米2答案C解析设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如题图所示，则4x3y200，又S3xy3xx(2004x)4(x25)22500，当x25时，Smax2500.题型二 分段函数模型例2某公司生产一种电子仪器的固定成本为xx0元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知每月总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)分析本题考查二次函数的解析式和最值问题由总收益总成本利润，可知利润总收益总成本由R(x)是分段函数，所以f(x)也要分段求出分别求出f(x)在各段中的最大值，通过比较，就能确定f(x)的最大值解析(1)设月产量为x台，则总成本为xx0100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)x2300xxx0(x300)225000，当x300时，f(x)max25000.当x400时，f(x)100x60000，此时f(x)在定义域上是减函数，f(x)f(400)xx0.综合以上情形可知，当x300时，f(x)的最大值为25000.答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元点评在函数的应用题中，已知的等量关系是解题的依据像此题中的利润总收益总成本，又如销售额销售价格销售数量等另外，几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系.变式迁移2已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，到达B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数，则下列正确的是()Ax60t50t(0t6.5)BxCxDx答案D解析依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可.题型三 指数函数模型例3若某厂去年年产值为a万元，以后计划每年按年增长率为p%增长，则x年后的年产值y为多少呢？解析我们先看看特例：经过1年后其年产值为a(1p%)；经过2年后其年产值为a(1p%)a(1p%)p%a(1p%)2；经过3年后其生产值为a(1p%)3；归纳到一般有：经过x年后其生产值为ya(1p%)x.因而得到增长率的计算公式为ya(1p%)x.类似地有下降率的计算公式为ya(1p%)x.点评类似地有储蓄中复利的计算公式为ya(1r)x.变式迁移3为了预防甲型H1N1流感，某学校用某种药物对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y()ta(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室解析(1)由于图中直线的斜率k10，所以图象中线段的方程为y10t(0t0.1)，又点(0.1,1)在曲线y()ta上，所以1()0.1a，所以a0.1，因此含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y.(2)因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只有当药物释放完毕后，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即()t0.10.25，解得t0.6，所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室.题型四 对数函数模型例4有时可用函数f(x)描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(xN*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关(1)证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121，(121,127，(127,133当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科分析(1)只要根据函数解析式作差，判断其单调递减即可；(2)即当自变量等于6，函数值等于0.85时，确定正实数a的取值范围解析(1)当x7时，f(x1)f(x)，而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0，故f(x1)f(x)单调递减，当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降(2)由题意可知0.115ln0.85，整理得e0.05，解得a620.56123，而123(121,127，由此可知，该学科是乙学科变式迁移4在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是vxxln(1)，要使火箭的最大速度可达12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的比值是_答案e61解析v12 km/s1.2104 m/s，代入vxxln(1)中得：12104xxln(1)e61，即燃料的质量与火箭的质量的比值是e61.题型五 对号函数模型例5围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解析(1)如图所示，设矩形的另一边长为am，则y45x180(x2)1802a225x360a360，由已知xa360，得a.所以y225x360(x0)(2)x0，225x210800.y225x36010440.当且仅当225x时，等号成立即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元变式迁移5某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8000，已知此生产线的年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解析(1)生产每吨产品的平均成本为f(x)48(0x210)，由于482 482404832，当且仅当，即x200时等号成立故年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为32万元(2)设年利润为s，则s40x(48x8000)88x8000(x220)21680(0x210)，由于s在(0,210上为增函数，故当x210时，s取得最大值为1660.故年产量为210吨时，可以获得最大利润为1660万元【教师备课资源】题型六 一次函数模型例6商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠办法：(1)买一只茶壶赠送一只茶杯；(2)按购买总价的92%付款某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若以购买x只茶杯的付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠办法？解析由优惠办法(1)得函数关系式为y12045(x4)5x60(x4，xN*)由优惠办法(2)得函数关系式为y2(2045x)92%4.6x73.6(x4，xN*)当该顾客需购买茶杯40只时，采用优惠办法(1)应付款y154060260(元)；采用优惠办法(2)应付款y24.64073.6257.6(元)，由于y2y1，因此应选择优惠办法(2)点评注意分析问题时要抓住实质，本题的实质是一个一次函数问题.变式迁移6某超市销售一种奥运纪念品，每件售价11.7元，后来，此纪念品的进价降低了6.4%，售价不变，从而超市销售这种纪念品的利润提高了8%.则这种纪念品的原进价是_元答案6.5解析设原进价为x元，则依题意有(11.7x)(18%)11.7(16.4%)x，解得x6.5.题型七 函数模型的确定例7以下是某地区不同身高的未成年男性体重的平均值表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0215.7020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数yaxb，yalnx，yabx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于x的函数关系式？试求这个函数关系式；(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某一中学生身高为175cm，体重为78kg，他的体重是否正常？解析根据散点图选择函数关系式(1)记身高为x，体重为y，作(x，y)的散点图(略)根据变化趋势；增长的速度越来越快，事实上不画散点图，从表中也能观察出这个变化趋势，再根据“对数增长，直线上升，指数爆炸”这个规律，应选择指数函数模型：yabx，反映上述数据之间的对应关系把(70,7.90)，(160,47.25)两组数据代入上述关系，得利用计算器，得a2，b1.02.所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数关系式可选为y21.02x.将没有使用的表中自变量代入检验，可知所求函数模型能较好地反映题中关系(2)把x175代入y21.02x得y21.0217563.98.由于7863.981.221.2，因此可认为这名男生体型偏胖点评根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察散点图变化趋势选择适当的函数模型，再利用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数关系式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的基本过程，但由于选择函数模型的多种性，造成考查这种能力有一定困难，因此本题采用限定函数模型，若是进一步限定所取散点，则所得具体函数将是唯一的，这样的题型是可以在考试中出现的，因为答案唯一，阅卷也就比较方便，也基本达到了考查应用函数模型解题的能力这一目的.变式迁移7南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据(见下表)芦蒿的市场需求量信息表(表1)需求量y吨403837.13632.830价值x千元/吨22.42.62.83.44芦蒿的市场供应量信息表(表2)价值y千元/吨22.53.24.4655.3供应量x吨293236.340.944.647(1)试写出描述芦蒿市场需求量y关于价格x的近似函数关系式；(2)试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量(需求量与供应量相等，又称供求平衡)，近似到吨解析(1)在直角坐标系中，由表(1)描出数对(x，y)对应的点，由图可知这些点近似地构成一条直线(其中四个点在一条直线上)，所以芦蒿的市场需求量关于价格的近似函数关系式为y40(x2)，即y505x.表(2)同理可知芦蒿的市场价格关于供应量的近似函数关系式为yx，所以芦蒿的市场供应量关于价格的近似函数关系为y6x17.(2)解、联立的方程组，得x3，y35，则市场对芦蒿的供求平衡量为35吨题型八 几类函数模型增长差异例8研究函数y0.5ex2，yln(x1)，yx21在0，)上的增长情况分析画出函数的图象，先观察图象，然后给出具体的计算，或者给出一个粗略的估计，如本题中令f(x)0.5exx21，计算知f(2)0，f(3)0，则可以取x03，即当x3时，不等式ln(x1)x210.5ex2恒成立解析分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y0.5ex2的图象首先超过了函数yln(x1)的图象，然后又超过了yx21的图象，即存在一个满足0.5ex02x1的x0(这个x0的近似值可以用二分法求得)，当xx0时，ln(x1)x210.5ex2.变式迁移8研究函数y0.1x与函数ylgx在(0，)上的变化情况解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示，可以看出，两个函数都是增函数，只在某一段区域上函数ylgx的图象位于函数y0.1x图象的上方，而当x10时，恒有lgx0.1x.方 法 路 路 通1分析不同类型函数增长差异的方法是(1)在同一坐标系下正确、规范地作图；(2)找到不同函数图象的交点；(3)注重每种函数自身的单调性；(4)整体把握2几类常见函数模型的增长特点是(1)直线型ykxb(k0)函数平稳增长；(2)对数型ylogax(a1)函数增长缓慢；(3)指数函数yax(a1)函数增长迅速一般称为直线上升，对数增长，指数爆炸3解答应用题的基本思想和程序(1)解应用题的基本思想(2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型求模：求解数学模型，得出数学结论还原：将数学结论还原.正 误 题 题 辨例如图所示，在矩形ABCD中，已知ABa，BCb(ab)在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积错解设四边形EFGH的面积为S，由题意得SAEHSCFGx2，SBEFSDHG(ax)(bx)由此得Sab2x2(ax)(bx)2x2(ab)x2(x)2.当x时，S取得最大值.点击错误的原因在于忽略了这个实际问题中自变量x的取值范围：0xb.由于ab0，所以当a3b时，b，自变量x不能取得，面积S不能取得最大值.正解由前面的计算可得S2(x)2，由题意可得函数的定义域为x|0xb，因为ab0，所以0b.若b，即a3b，当x时面积S取得最大值；若b，即a3b时，函数S2(x)2在(0，b上是增函数，因此，当xb时，面积S取得最大值abb2.综上可知，若a3b，当x时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a3b，当xb时，四边形EFGH的面积取得最大值abb2.