2019-2020年高二数学 二项式定理同步教案 新人教A版.doc

2019-2020年高二数学 二项式定理同步教案 新人教A版【教学内容】 1、二项式定理； 2、二项式系数的性质。【教学目标】 使学生理解并掌握二项式定理，理解二项展开式的通项、二项式系数、项的系数等概念，理解并掌握二项式系数的性质，并能够比较熟练地运用这些基本概念和性质来解决一些常见的题型。【知识讲解】 1、二项式定理的性质（1）二项展开式共有n+1项。（2）指数：a的指数由n开始按降幂排列到0，b的指数由0按升幂排列到n，在每一项中a与b的指数之和为n。（3）系数：各项的二项式系数依次为：，。（4）在二项展开式中，要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”两个不同的概念。（5）通项：二项展开式中第r+1项（0rn）叫做通项。通项公式是一个非常重要的公式，常常用它来求二项展开式中某特殊项，例如求指定幂的项，常数项，中间项，有理项，系数最大的项，具有某种性质的连续若干项等等。因此我们必须清楚地记住通项公式的结构特点，同时还注意：通项是对(a+b)n形式的展开而言，至于(b+a)n展开式的通项是，两者的通项不相同，不可混淆。(ab)n展开式的通项是（0rn）。2、如果a的绝对值比1小得多，且n不太大的时候，可以应用公式： (1+a)n=1+na(a0) (1a)n=1na(a0)计算(1a)n的近似值，使它达到预定的精确要求，如果精确的要求很高，还应用这个近似公式来计算，其结果的误差会达不到要求，因此就需要在(1a)n的展开式中往后继续取一项或几项来计算，结果总会达到要求。3、(a+b)n的展开式中相邻两项和的二项式系数之间有一个特定的关系： 这里，nr正好是第r+1项中a的幂指数，从而二项展开式的系数又具有一个性质：在展开式中，从第2项起的二项式系数，等于它的前一项的二项式系数乘以该项中a的幂指数，再除以该项中b的幂指数与1的和。4、二项式系数的性质（1）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大。（2）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。（3）(a+b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n。（4）(a+b)n的展开式，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。例1. 展开解法一：原式= =解法二：原式= 说明：对于比较复杂的二项式要进行展开时，可以先对它进行适当地化简后再进行展开，这样可以简便运算。例2. 求(1+2x)7的展开式中第四项的二项式系数及第四项的系数。解：展开式的第四项 第四项的二项式系数为 第四项的系数为。例3. 求的展开式中x3的系数及x3的二项式系数。解：展开式的通项是： 由题意得：92r=3 r=3 x3项的系数为 x3项的二项式系数为。例4. 求的展开式中的常数项（或称不含x的项或称含x0的项）。解：展开式的通项是： 由题意得：，r=6 常数项为。答：常数项为5005。例5. 计算(0.997)3的近似值（精确到0.001）解：(0.997)3=(10.003)3 = 130.003=0.991由精确度的要求，从第三项起以后各项都可以删除。例6. 在的展开式中有多少个有理项？解：展开式的通项为： 根据题意当与均为正整数时，Tr+1为有理项。r应是4的倍数且r100r可取0，4，8，12，100展开式中共有26个有理项。例7. 已知的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14:3，求展开式中的常数项。解：由已知条件得： 整理得：n25n50=0 n=10 展开式的通项为： 由题意得：，r=2 常数项为第三项。例8. 已知的展开式，第5项的系数与第3项的系数的比是56:3，求展开的中间项。解： 第5项的系数为同理可求第3项的系数为。由题意得： n25n50=0 解之得：n=10 展开式共有11项 展开式的中间项为第6项 答：中间项为。例9. 证明：32n+28n9能被64整除（nN） 证明：32n+28n9 =9n+18n9 =(8+1)n+18n9 = = = 又 32n+28n9能被64整除。例10. 若展开式的各项系数的和是128，求展开式中含x5这一项的系数。解：由题意知展开式的各项系数的和就是各项的二项式系数的和。 2n=128 n=7 展开式的通项为： 令 r=4 含x5项的系数为例11. 若(1+x)n展开式中连续三项的系数的比是3:8:14，求展开式中二项式系数最大的项。解：因为(1+x)n展开式中连续三项的系数就是连续三项的二项式系数，所以由题意得： 8r=3(nr+1) 故 14(r+1)=8(nr) n=10解之得： r=3展开式中二项式系数最大的项为第6项，即。例12. 求(1+5x)15的展开式中的最大系数。解：设第r+1项系数最大，因为 这三项的系数分别为，所以 即 1 1 r解之得： r即：r又rN，所以r=13，该展开式中第14项的系数最大，其系数是：。【一周一练】 一、选择题：1、的展开式中的常数项是 （ ） A、28 B、7 C、7 D、282、在的展开式中含x的项是 （ ） A、 B、 C、 D、3、(1x)2n展开式的中间项是 （ ） A、 B、 C、 D、4、展开式的第三项为 （ ） A、 B、 C、 D、5、在(1+2xx2)4的展开式中的x7的系数是 （ ） A、8 B、12 C、6 D、126、10110除以11所得的余数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、37、设展开式中第7项与倒数第7项的比是1:6，则展开式中的第7项为 （ ） A、 B、 C、 D、二、填空题：8、设，则的展开式中的常数项是 _。9、展开式的所有项系数的总和为 _。10、1.0026精确到0.001的近似值是 _。三、解答题：11、已知展开式的第三项系数与第五项的系数的比为18:7，求n。12、求展开式中的所有有理项。13、求(1+2x)12展开式中系数最大的项。14、求证：72n48n1能被2304整除（nN）【一周一练答案】 一、选择题：1、C 2、B 3、C 4、A 5、A 6、B 7、A二、填空题： 8、 9、 10、1.012三、解答题：11、n=9 12、，13、14、略