2019-2020年高考数学 第四节 函数的单调性教材.doc

2019-2020年高考数学 第四节 函数的单调性教材教 材 面 面 观1增函数定义、减函数定义一般地，对于给定区间上的函数f(x)：如果对于_两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有_，那么就说f(x)在_是增函数如果对于_两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有_，那么就说f(x)在_是减函数答案属于这个区间的任意f(x1)f(x2)这个区间上属于这个区间的任意f(x1)f(x2)这个区间上2单调性、单调区间如果函数yf(x)在某个区间上_，那么说函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，_叫做函数yf(x)的单调区间答案是增函数或是减函数这一区间3图象特征在单调区间上增函数的图象从左向右是_的，减函数的图象从左到右是_的(如图所示)答案上升下降4若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)的最大值为_，最小值为_，值域为_答案f(a)f(b)f(b)，f(a)5函数单调性的判定方法(1)定义法：利用定义(2)图象法：作出函数图象(3)复合法：对于复合函数yfg(x)，如果内、外层函数单调性相同，那么yfg(x)为_，如果内、外层函数单调性相反，那么yfg(x)为_(4)导数法：设yf(x)在定义域的给定区间上可导，如果_，那么f(x)为增函数；如果_，那么f(x)为减函数(5)性质法：若f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)为_函数；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为_；若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为_函数奇函数在两个对称的区间上具有_的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有_的单调性互为反函数的两个函数具有_的单调性答案增函数减函数f (x)0f (x)0增(减)增函数减相同相反相同6证明函数单调性的方法(1)_；(2)_答案定义法导数法考 点 串 串 讲1函数单调性的定义与单调区间(1)定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数如果函数yf(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做yf(x)的单调区间，若是增函数，则该区间为增区间，若是减函数，则该区间为减区间(2)对单调性的理解需注意：函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，单调区间是定义域的子区间或定义域本身，离开了定义域这个大前提就会导致错误如函数ylg(32xx2)的单调递增区间为(1,1，而不能认为是(，1，因为定义域为(1,3)函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在局部区间上函数值的变化趋势因此若要判定或证明函数在该区间上的单调性，就必须严格地按照定义在该区间上任取两点x1，x2，且x1x2，然后再比较它们对应的函数值f(x1)与f(x2)的大小关系，若f(x1)f(x2)，则f(x)在这个区间上为增函数，若f(x1)f(x2)，则f(x)在这个区间上为减函数若要证明f(x)在某区间上不具有单调递增的性质，则只要举出反例就可以了函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制如：函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性例如：ysinx在0，上单调递增，在，上单调递减函数的单调区间是定义域的子集，定义域中的x1、x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代，例如：正弦函数ysinx，当x1，x2时，因sinsin，但不能说ysinx在，上为增函数函数的单调性使得自变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”2判断或证明函数单调性的方法(1)根据图象判断函数的单调性在几何上表现为在某区间上函数图象从左到右是一致上升还是一致下降因此可以根据图象的特点来判断如：根据图，指出函数yf(x)的单调增区间与减区间从图上可以看出函数yf(x)在区间(，5和(，)内递增，在区间(5，内递减(2)根据定义来判断或证明这是最基本的方法，其步骤如下：第一步：取值，即设x1，x2是该区间内的任意两点，且x1x2.第二步：变形，变形有两种途径一般采用作差法，即f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；如果是指数型一般采用作商比较法第三步：定号，确定差f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分区间讨论如果是作商比较，则需比较变形结果与1的大小关系第四步：判断，根据定义作出结论(3)用导函数方法去判断函数单调性这种方法我们将在后面学习(4)判断函数单调性的常用结论两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；互为反函数的两个函数有相同的单调性；如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数；如果yf(u)和ug(x)单调性相同，那么yfg(x)是增函数；如果yf(u)和ug(x)单调性相反，那么yfg(x)是减函数也就是说复合函数的单调性是同增异减注：在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大简化我们的判断过程3函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有很重要的作用，具体体现在：(1)利用单调性比较大小利用函数的增减性，可以把比较函数值的大小问题转化为自变量的大小比较问题如：已知函数y0.8x在R上是减函数，因为3.20.2，则0.83.20.80.2.(2)确定函数的值域或求函数的最值如：函数f(x)在区间a，b上单调递增则可以判定它的值域为f(a)，f(b)，若在a，b上递减，则函数值域为f(b)，f(a)且当f(x)在a，b上递增时，f(a)与f(b)分别为a，b上的最小值与最大值，当f(x)在a，b上递减时，f(a)与f(b)分别为a，b上的最大值与最小值.典 例 对 对 碰题型一 用函数单调性的定义证明函数的单调性例1判断下列函数的单调性，并证明(1)f(x)，x(1，)；(2)f(x)x22x1，x1，)；(3)f(x)，x1，)解析(1)函数f(x)在(1，)上为减函数下面采用定义证明：任取x1、x2(1，)，且1x1x2，则有x1x20，f(x1)f(x2)，1x1x2，x110，x210，x2x10.0.即f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)故f(x)在(1，)上为减函数(2)函数f(x)x22x1在1，)上为减函数证明：任取x1、x2R，且x2x11，则f(x1)f(x2)(x2x11)(x2x21)(xx)2(x1x2)(x2x1)(x2x1)2(x1x2)(x2x1)(x2x12)x2x11，x2x10，x2x12，x2x120，f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)0，即有f(x1)f(x2)故函数f(x)x22x1在1，)上是减函数(3)函数f(x)在1，)上为增函数证明：任取x1、x21，)且1x1x2，则有x1x20，f(x1)f(x2)，1x1x2，则有x1x20，0，0.0，即有f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)故函数f(x)在1，)上为增函数.变式迁移1证明：函数f(x)x在R上是单调减函数证明设x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)(1)(x1x2).x1x2，x1x20.x1|x1|，x10，同理x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)x在R上是单调减函数.题型二 函数的单调区间例2求函数ylog0.7(x23x2)的单调区间及其增减性解析由ux23x20得知x1或x2.结合二次函数的图象及单调性易知：当x(，1)时，u(x)为减函数当x(2，)时，u(x)为增函数又ylog0.7u在定义域内为减函数，因此由复合函数的单调性可知x(，1)时，y为增函数，x(2，)时，y为减函数点评函数的定义域是讨论函数性质的前提，任何问题的解决必须在定义域内进行因此，首先须求定义域.变式迁移2求下列函数的单调区间，并指出其增减性：(1)ya1x2(a0，且a1)；(2)ylog(4xx2)解析(1)令t1x2，则t1x2的递减区间是0，)，递增区间是(，0又当a1时，yat在(，)上是增函数；当0a1时，yat在(，)上是减函数当a1时，函数的单调减区间是0，)，单调增区间是(，0；当0a1时，函数的单调减区间是(，0，单调增区间是(0，)(2)由4xx20，得函数的定义域是(0,4)令t4xx2，t4xx2(x2)24，t4xx2的递减区间是2,4)，递增区间是(0,2又ylogt在(0，)上是减函数，函数的单调减区间是(0,2，单调增区间是2,4).题型三 对号函数的单调性例3讨论函数f(x)x(a0)的单调性解析显然f(x)为奇函数，所以先讨论函数f(x)在(0，)上的单调性设x1x20，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)(1)当0x2x1时，1，即f(x1)f(x2)0.故f(x)在(0，上是减函数当x1x2时，01，则f(x1)f(x2)0.故f(x)在，)上是增函数f(x)是奇函数，f(x)分别在(，、，)上为增函数；f(x)分别在，0)、(0，上为减函数点评本题的结论很重要，在以后的解题中有着广泛的应用、应予重视.变式迁移3某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱为了避免混养，箱中要安装一些筛网，平面图如图如果网箱四周网衣(网中实线部分)建造单价为每米长160元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米长64元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网厚度均忽略不计(1)把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x的函数，并求出最低总造价；(2)若要求网箱的长与宽都不能超过15m，则当网箱的长与宽各为多少m时，可使总造价最低(精确到0.01m)解析(1)y160(2x2)643100160320(x)16000.x0，x232，当且仅当x，即x16时，上式取等号y320321600026240(元)，即网箱的最低总造价为26240元(2)(x0)，10x15.设g(x)x(10x15)任取x1，x210，15且x1x2，则g(x1)g(x2)(x1)(x2)(x1x2)(1)10x1x215，x1x20,10.g(x1)g(x2)0.即g(x1)g(x2)g(x)在10，15上是减函数，当x15(m)时，g(x)有最小值，从而y有最小值此时，网箱的宽为1010.67(m)故当网箱的长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低题型四 利用函数的单调性解不等式例4奇函数f(x)是R上的减函数，对任意实数x，恒有f(kx)f(x2x2)0成立，求k的取值范围分析此类抽象函数题目要充分利用函数的性质，想法去掉函数符号“f”，使之成为具体函数，然后求解解析由f(kx)f(x2x2)0，得f(kx)f(x2x2)，而f(x)是奇函数，有f(kx)f(x2x2)，又f(x)在R上为减函数，所以kxx2x2.即x2(k1)x20恒成立，(k1)2420.解得21k21.点评本题既要利用奇函数的性质，又要利用减函数的性质，而函数的单调性是解(证)不等式的重要依据.变式迁移4设定义在2,2上的偶函数f(x)在0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数解得1m.题型五 抽象函数的单调性例5定义在R上的函数f(x)，对于任意的x、yR都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时f(x)0，f(1)2.(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性，并求当x3,3时f(x)的最大值及最小值解析(1)令xy0，则f(0)f(0)f(0)f(0)0.令yx，则f(0)f(x)f(x)0.f(x)f(x)，即f(x)为奇函数(2)任取x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x2x1)x2x10，f(x2x1)0，f(x1)f(x2)0.f(x)在R上单调递减当x3,3时，f(3)f(x)f(3)f(2)f(11)f(1)f(1)2f(1)4，f(3)f(21)f(2)f(1)6.当x3,3时，f(x)的最大值为6，最小值为6.点评对于抽象函数的单调性的证明，常用如下方法：按定义，设x1x2，判断差f(x1)f(x2)的正负关键是利用所给式子f(xy)f(x)f(y)及其性质进行适当的配凑.变式迁移5设f(x)是定义在(0，)上的增函数，且f(x)f()f(y)，若f(3)1，f(x)f()2，求x的取值范围解析f(x)f()f(y)，令x9，y3，f(9)f(3)f(3)又f(3)1，f(9)2.又f(x)f(y)f()，由f(x)f()2f(x25x)f(9)由f(x)在(0，)上为增函数，得故x的取值范围是x，)【教师备课资源】题型六 与单调性有关的恒成立问题例6已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件，(1)在(0,1上是减函数，在1，)上是增函数，(2)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由解析f(x)在(0,1上是减函数，1，)上是增函数，x1时，f(x)最小，log31.ab2.设0x1x21，则f(x1)f(x2)即恒成立由此得0恒成立又x1x20，x1x2b0恒成立，b1.设1x3x4，则f(x3)f(x4)恒成立0恒成立x3x40，x3x4b恒成立b1.综上所述，得b1，a1.变式迁移6设f(x)lg，其中aR.如果当x(，1时，f(x)有意义，求a的取值范围解析12x4xa0a()x()x，此不等式在(，1上恒成立令u(x)()x()x，可判断u(x)在(，)上单调递增x1，u(x)u(1).要使au(x)恒成立，则a.方 法 路 路 通1单调性与奇偶性是从两个不同的角度研究函数的形态前者是从局部研究函数值的增减规律，后者是从整体上研究函数值的对称规律要深刻理解这两个不同的概念2判定函数单调性的方法：(1)观察法；(2)分解法：复合函数同增异减；(3)图象法；(4)定义法；(5)导函数法注意确定单调性一定相对于某个区间而言，而且一定要在定义域内；判定单调性时应将上述方法从易到难逐步选择3运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)f(x)f(|x|)4已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制5函数单调性的定义的变形形式给定区间D上的任意x1、x2，如果x1x2，都有f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2)，则函数f(x)为这个区间D上的递增(减)函数这个定义有如下两种等价形式：设x1，x2a，b，那么0f(x)在a，b上是增函数(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数0f(x)在a，b上是减函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率都大于(小于)0.6若要证明f(x)在区间a，b上不是单调函数，只要举出反例即可，即只要找到两个特殊的x1，x2不满足定义即可.正 误 题 题 辨例求函数f(x)的单调区间错解易忽视函数的定义域，从而导致错误设yx2x6(x)2y是开口向上的抛物线，对称轴为xx(，时，f(x)是减函数x，)时，f(x)是增函数点击研究复合函数的单调性，先求函数的定义域正解依题意，x2x60x2或x3函数定义域为(，32，)而Ux2x6(x)2，在(，3上是减函数，在2，)上是增函数且y在0，)上是增函数f(x)在(，3上是减函数，在2，)上是增函数.知 能 层 层 练针对考点勤钻研金榜题名不畏难1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()AycosxByx2Cylg2x Dye|x|答案D解析A、D两项是偶函数，可排除B、C，而ycosx在(0，)并不是单调函数故选D.2下列函数中既是奇函数又在1,1上是增函数的是()Ay2x ByCysinx Dyx32x答案D解析由奇函数的定义可排除答案A；又函数在1,1上为增函数，画图可排除B、C，故选D.3下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)答案A解析f(x)在(0，)上是减函数，故选A.4若f(x)在R上是奇函数，当x(0，)时为增函数，且f(1)0，则不等式f(x)0的解集为_答案(，1)(0,1)解析由题意，画出大致图象，则f(x)0的解集为(，1)(0,1)5已知f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数p和q的值；(2)判断函数f(x)在(，0)上的单调性，并证明解析(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，得q0.又f(2)，得p2.(2)设x1x21，得f(x1)f(x2)(x1x2).x1x21，x1x20，x1x21，10，f(x1)f(x2)0，f(x)在(，1)上为增函数，同理可证f(x)在(1,0)上为减函数