2019-2020年中考数学思维方法讲义：第9讲 二次函数的实际问题应用.doc

状元廊数学思维方法讲义之九 年级： 九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第9讲 二次函数的实际问题应用【今日目标】1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、分段函数、最值相结合）；2、能在限制条件下求出符合题意的最值。【精彩知识】【引例】求下列二次函数的最值：（1）求函数的最值 （2）求函数的最值方法归纳：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在 处取得最大值（或最小值）如果自变量的取值范围是，分两种情况：顶点在自变量的取值范围内时，以为例，最大值是 ；最小值是 顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性专题一 应用之利润最值问题【例1】某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?变式练习：某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为的取值范围为元。（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？解题回顾：总利润= * ；找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价【例2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=2x+100.(利润=售价制造成本)（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解题回顾：先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的 ，然后根据函数性质并结合函数图象求最值【例3】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)解题回顾：分段函数求最值时，要根据各段函数自变量的 求相应的最值。专题二 应用之面积最值问题【例4】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。变式练习：如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ABCD四个顶点正好重合于上底面上一点）已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？专题三 实际应用问题【例5】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。【例6】卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围； （2）如果DE与AB的距离OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）变式练习：如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点【课后测试】（成都各区、县2011xx年度期末调研试卷26小题选编）1、（青羊区26）近年来，我市为了增强市民环保意识，政府决定对购买太阳能热水器的市民实行政府补贴。规定每购买一台热水器，政府补贴若干元，经调查某商场销售太阳能热水器台数y（台）与每台补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低，且Z与x之间也大致满足如图所示的一次函数关系（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售太阳能热水器的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售太阳能热水器台数y和每台太阳能热水器的 收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售太阳能热水器的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值2、（金牛区26）某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：（1）已知y与x之间是一次函数关系，求出此函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）3、（高新区26）政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件30元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：=-10+700.(1) 小明每月获得的利润为w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？最大利润是多少？(2) 如果小明想要每月获得3000元的利润，那么销售单价应定为多少元？4、某汽车租赁公司拥有20辆同类汽车据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元设公司每日租出辆车时，日收益为y元（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x的代数式表示，要求填写化简后的结果）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？【部分答案】例1变式解析：（1）销售利润=每件商品的利润（18010上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；（3）让（1）中的y=1920求得合适的x的解即可解答：解：（1）y=（3020+x）（18010x）=10x2+80x+1800（0x5，且x为整数）；（2）当x=时，y最大=1960元；每件商品的售价为34元答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；（3）1920=10x2+80x+1800 ， x28x+12=0， 即 （x2）（x6）=0，解得x=2或x=6， 0x5， x=2，售价为32元时，利润为1920元【例2】解：（1）z=(x18)y=(x18)(2x+100) . z与x之间的函数解析式为. （2）由z=350，得350=， 解此方程，得.销售单价应定为25元或43元.把z配方，得z.因此，当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是512元.（3）结合（2）及函数z的图象（如图所示）可知，25x43时，z350. 又由限价为32元，得25x32.根据一次函数的性质，得y=2x+100中y随x的增大而减小.当x=32时，每月制造成本最低.最低成本是18（232+100）=648（万元）.因此，每月的最低制造成本需要648万元.【例3】解：（1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0x10时，y=（30002400）x=600x；当10x50时，y=x，即y=10x2+700x；当x50时，y=（26002400）x=200x。（3）由y=10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为300010（x10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。【例4】解：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm。则（402x）2=484，解得（不合题意，舍去），。剪掉的正方形的边长为9cm。侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：，x=10时，y最大=800。即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则 ，解得：（不合题意，舍去），。剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。【例4变式】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6，V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x，S=4ah+a2=。0x12，当x=8时，S取得最大值384cm2。【例5】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(06)2+2.6， 当h=2.6时， y与x的关系式为y= (x6)2+2.6（2）当h=2.6时，y= (x6)2+2.6当x=9时，y= (96)2+2.6=2.452.43，球能越过网。当y=0时，即 (18x)2+2.6=0，解得x=18，球会过界。（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。x=9时，y= (96)2+h2.43 x=18时，y= (186)2+h=0 由 解得h。若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h。变式 解：（1）在RtAOC中，AOC=30 o ，OA=8，AC=OAsin30o=8=， OC=OAcos30o=8=12点A的坐标为（12，） 2分设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得： =12k ，k= ，OA的解析式为y=x； 4分(2) 顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，6分把点O的坐标代入得：0=a（0-9）+12，解得a= ，抛物线的解析式为y= (x-9)+12 及y= x+ x； 8分(3) 当x=12时，y= ，小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 10分