2019-2020年高中第二册(下A)数学二项式定理.doc

2019-2020年高中第二册(下A)数学二项式定理教学目标(一)教学知识点1.二项式定理：=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*).2.通项公式：Tr+1=an-rbn(r=0,1,n).(二)能力训练要求1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式.2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项.(三)德育渗透目标1.提高学生的归纳推理能力.2.树立由特殊到一般的归纳意识.教学重点1.二项式定理及结构特征二项式定理(a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn有以下特征：(1)展开式共有n+1项；(2)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；(3)各项的系数, 称为二项式系数.2.展开式的通项公式Tr+1=an-rbr,其中r=0,1,2,n表示展开式中第r+1项.3.当a=1,b=x时， (1+x)n=1+x+x2+xr+xn.教学难点1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别.2.通项公式的灵活应用.教学方法启发引导法教学过程.课题导入师在初中，我们学过两个重要公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.那么，将(a+b)4,以至于(a+b)5,(a+b)6展开后，它的各项是什么呢？.讲授新课师不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？不难发现，(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b3.即等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的次数相同.这样看来，(a+b)4的展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4.这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？生(讨论)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).在上面4个括号中：每个都不取b的情况有1种，即种，所以a4的系数是；恰有1个取b的情况有种，所以a3b的系数是；恰有2个取b的情况有种，所以a2b2的系数是;恰有3个取b的情况有种，所以ab3的系数是；4个都取b的情况有种，所以b4的系数是.师也就是说，(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4.依此类推，对于任意正整数n，上面的关系也是成立的.即(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*).此公式所表示的定理，我们称为二项式定理.右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，它一共有n+1项，其中各项的系数(r=0,1,2,n)叫做二项式系数.式中的an-rbr叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1=an-rbr.另外，在二项式定理中，如果设a=1,b=x,则得到(1+x)n=1+x+x2+xr+xn.师下面我们结合几例来熟练此定理.例1展开(1+)4.分析：只需设a=1,b=，用二项式定理展开即可.解：(1+)4=1+()+()2+()3+()4=1+.例2展开(2)6.分析：可先将括号内的式子化简，整理，然后再利用二项式定理.解：(2)6=()6=(2x-1)6=(2x)6-(2x)5+(2x)4-(2x)3+(2x)2-(2x)+=(64x6-632x5+1516x4-208x3+154x2-62x+1)=64x3-192x2+240x-160+.评述：应注意灵活应用二项式定理.例3求(x+a)12的展开式中的倒数第4项.分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得.解：(x+a)12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，由通项公式得T10=T9+1=x12-9a9=x3a9=220x3a9.例4(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数；(2)求(x-)9的展开式中x3的系数.解：(1)(1+2x)7的展开式的第4项是T3+1=17-3(2x)3=23x3=358x3=280x3.所以展开式第4项的系数是280.注：(1+2x)7的展开式的第4项的二项式系数是=35.(2)(x-)9的展开式的通项是x9-r(-)r=(-1)rx9-2r.由题意得9-2r=3,即r=3.x3的系数是(-1)3=-84.评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数的概念区别.课堂练习生(自练)课本P106练习16.1.(p+q)7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.2.T3=(2a)4(3b)2=2160a4b2.3.T3=(3b)4(2a)2=4860b4a2.4.Tr+1=()n-r(-)r=.5. =35;23=280.6.D.课时小结通过本节学习，要掌握二项式定理及其通项公式.课后作业(一)1.课本P109习题10.4 2、3.(二)1.预习课本P106P108.2.预习提纲二项式系数有哪些性质？板书设计10.4二项式定理二项式定理及其推导过程 例题解析备课资料一、利用二项展开式直接求特定项系数例1在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为A.-160 B.240 C.360 D.800分析：把(x2+3x)+25直接展开，即=(x2+3x)5+5(x2+3x)42+10(x2+3x)322+10(x2+3x)223+5(x2+3x)24+25.注意到x的指数为1，只有在5(x2+3x)24中才出现x的项，所以x的系数为54=240.答案：B但应明确直接展开只适用于n是较小的自然数.二、利用二项展开式的通项公式例2由(x+)100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_项.A.50 B.17 C.16 D.15分析：考虑(x+)100的展开式的通项Tr+1=(x)100-r()r=x100-r=x100-r.要使系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k(kZ)，而且06k100,即r=0,6,12,96，因此共有17项.答案：B三、分解因式求特定项系数例3求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x4项的系数.分析：原式=(1-x3)(1-x)9,其中(1-x)9展开式的通项为Tr+1=(-x)r.令r=4,得T4+1=x4;令r=1,得T1+1=-x.故x4的系数为+=135.四、利用排列组合原理求系数例4求(x2+3x-1)9(2x+1)4展开式中含x2的项的系数.分析：为了保证相乘得到x2的项，则前一式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的个数有以下几种情况：1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.故展开式中含x2的项为x2(-1)8+(3x)2(-1)7+ (3x)1(-1)82x+(-1)9(2x)2=(9-324+216-24)x2=-123x2,故所求系数为-123.五、利用估算公式求系数最大项估算公式：若二项式(ax+by)n(a,bR+,nN)的展开式的系数最大的项为第r+1项，则有公式证明：设展开式的第r、r+1、r+2项的系数分别为,.由展开式相邻两项的系数关系，易知而由题意，第r+1项的系数最大，所以，,即成立.例5问(2+3x)20展开式中系数最大的项是第几项？解：设第r+1项的系数最大，则解得r.由于r是正整数，所以r=12,即第13项的系数最大.说明：若在(ax+by)n中，a、b异号，则估算公式改为由此算出的是展开式中系数的绝对值最大的项.六、巧求二项展开式某一特定项求二项展开式中某一特定项是排列组合二项式定理中常见题型之一.它的一般解法是应用二项展开式的通项，这已为大家所熟知.本文要介绍的是另一种解法，这种解法能使某些直接应用二项展开式的通项不易解决的问题迎刃而解.例6求(a+b+c+d)1995展开式中a200b800c900d95项的系数.解：(a+b+c+d)1995=(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d),一共1995个因式相乘，等号右边的积的展开式的每一项是从1995个因式的每一因式中任取一个字母的乘积.显然a200b800c900d95项的系数应为.例7求(|x|+-2)3展开式中的常数项.解：(|x|+-2)3=()6.展开式中第r+1项为Tr+1=(-1)r=(-1)r|x|3-r,当且仅当r=3时，Tr+1为常数，所以，所求常数项为T4=-20.例8求(1+x-x2)6展开式中的x5项.分析：1+x-x2不是完全平方式，若不用本文所给方法，则要两次应用二项式定理，若用本文所给新解法，则化繁为简.解：(1+x-x2)6展开式中，xm+2n项(其中m,n都是自然数，且m+2n6)是(-1)nxm+2n.已知m+2n=5,方程的解有以下几种情况：若n=1,则m=3,得项-x5=-60x5;若n=2，则m=1，得项x5=60x5;若n=0,则m=5,得项x5=6x5.以上3种合计得项是-60x5+60x5+6x5=6x5.