2019-2020年中考数学专题复习七、解直角三角形.doc

2019-2020年中考数学专题复习七、解直角三角形【近三年江苏省十三大市中考中解直角三角形的分值与百分比】(仅供参考)xx年xx年xx年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市108.33108.3386.67苏州市118.46118.4686.15无锡市32.3132.3121.54常州市53.3353.3353.33镇江市97.5097.5065.00扬州市106.67106.6796.00泰州市128.00128.001610.67南通市85.3385.3385.33盐城市117.33117.33106.67淮安市128.00128.00117.33宿迁市128.00128.00138.67徐州市86.6786.6786.67连云港市106.67106.67138.66平均9.316.69.316.696.36【课标要求】1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角；2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A、cos A、tan A)；知道30、45、60角的三角函数值；4.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角；5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题.【课时分布】解直角三角形在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试及评析.下表为内容及课时安排(仅供参考).课时数内容1勾股定理及其逆定理1锐角三角函数2解直角三角形及应用1单元测试与评析【知识回顾】边的关系：勾股定理边角关系：锐角三角函数解直角三角形角的关系：两个锐角互余直角三角形实际应用已知一边一锐角解直角三角形已知两边解直角三角形添辅助线解直角三角形1.知识脉络2.基础知识(1)勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.即：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.(2)锐角三角函数锐角三角函数的定义RtABC中，C=90ACB斜边cA的对边aA的邻边b锐角三角函数（A为例）A的正弦记为sin Asin A=A的余弦记为cos Acos A=A的正切记为tan Atan A=取值范围0sin A10cos A0特殊角的三角函数值特殊直角三角形2306011451a306045sin acos atan a1(3)解直角三角形解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.解直角三角形的依据角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；解直角三角形的常见类型及一般解法RtABC中的已知条件一般解法两边两直角边a，b(1)；(2)由求出A；(3)B=90A.一直角边a，斜边c(1)；(2)由求出A；(3)B=90A.一边一锐角一直角边a，锐角A(1)B=90A；(2)；(3).斜边c，锐角A(1)B=90A；(2)a=csin A；(3)b=ccos A.实际问题中术语的含义方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90角的为方位角. 仰角、俯角：如图7-1，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.铅垂线视线视线水平线仰角俯角图7-1ai=h:lhl图7-2坡度(或坡比)、坡角：如图7-2，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即.坡度通常写成1m的形式，如i=16.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有=tan a.显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题.在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案.3.能力要求例1 （xx宿迁）如图，在RtABC中，ACB=90，AD平分BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AB的长是 .【分析】先求出CAD=30，求出BAC=60，B=30，根据勾股定理求出AC，再求出AB=2AC，代入求出即可.【解】.【说明】本题考查了含30的直角三角形性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC长和求出B=30，注意：在特殊直角三角形中，三边的比例关系.例2 如图7-3，在RtABC中，C=90，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值.【分析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC.BAC图7-3【解】sin A=，AB=10，BC=4.AC=，tan B=.【说明】本题是最基本的解直角三角形问题.图7-4-1例3（xx苏州）如图7-4-1，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A.4km B.2km C.2 km D.(+1)km【分析】过点A作ADOB于D.先解RtAOD，得出AD=OA=2，再由ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2.图7-4-2【解】如图7-4-2，过点A作ADOB于D.在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=4，AD=OA=2.在RtABD中，ADB=90，B=CAB -AOB=75-30=45，BD=AD=2，AB=AD=2.即该船航行的距离（即AB的长）为2km.故选C.【说明】图7-5-1本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.例4 (xx徐州)如图7-5-1，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15且点A相距100km的点B处，再航行至位于点A的南偏东75且与点B相距200km的点C处.(1)求点C与点A的距离（精确到1km）；(2)确定点C相对于点A的方向.（参考数据：1.414，1.732）【分析】(1)作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；(2)利用勾股定理的逆定理，判定ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向.图7-5-2【解】(1)如图7-5-2，过点A作ADBC于点D.由图得，ABC=7510=60.在RtABD中，ABC=60，AB=100，BD=50，AD=50.CD=BC-BD=200-50=150.在RtACD中，由勾股定理得：AC=100173（km）.答：点C与点A的距离约为173km.(2)在ABC中，AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=xx=40000，AB2+AC2=BC2，BAC=90，CAF=BAC-BAF=90-15=75.答：点C位于点A的南偏东75方向.【说明】考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学应用于实际生活的思想.图7-6例5（xx盐城）盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图7-6，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60.求电视塔的高度AB.（取1.73，结果精确到0.1m）【分析】设AG=x，分别在RtAFG和RtACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=224m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB.【解】设AG=x，在RtAFG中，tanAFG=，FG=，在RtACG中，tanACG=，CG=x，x-=224，解得：x193.8.则AB=193.8+1.5=195.3（米）.答：电视塔的高度AB约为195.3米. 【说明】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法.图7-7-1CDBHAE4560例6 如图7-7-1，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米.(i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：1.414，1.732)【分析】(1)显然在RtABH中，通过坡度的概念求出BH、AH；(2)在ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在RtCBG中，CBG=45，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度.CDBHAE4560G图7-7-2【解】(1)如图7-7-2，过B作BGDE于G，在RtABF中，i=tanBAH=，BAH=30.BH=AB=5；(2)由(1)得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15.在RtBGC中，CBG=45，CG=BG=5+15.在RtADE中，DAE=60，AE=15，DE=AE=15.CD=CG+GEDE=5+15+5-15=20-102.7m.答：宣传牌CD高约2.7米.图7-8-1【说明】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.例7（xx淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度.如图7-8-1，在地面上选取一点C，测得ACB=45，AC=24m，BAC=66.5，求这棵古杉树AB的长度.（结果取整数）参考数据：1.41，sin66.50.92，cos66.50.40，tan66.52.30.【分析】过B点作BDAC于D.分别在RtADB和RtCDB中，用BD表示出AD和CD，再根据AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可.【解】图7-8-2过B点作BDAC于D.ACB=45，BAC=66.5，在RtADB中，AD=，在RtCDB中，CD=BD，AC=AD+CD=24m，+BD=24，解得BD17m.AB=18m.故这棵古杉树AB的长度大约为18m.【说明】本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形，利用三角函数求三角形的边.例8（xx泰州）图7-9-1、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角CDE为12，支架AC长为0.8m，ACD为80，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）.（参考数据：sin12=cos780.21，sin68=cos220.93，tan682.48）图7-9-1【分析】如图7-9-2过C点作FGAB于F，交DE于G.在RtACF中，根据三角函数可求CF，在RtCDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解.图7-9-2【解】过C点作FGAB于F，交DE于G.CD与地面DE的夹角CDE为12，ACD为80，ACF=90+12-80=22，CAF=68，在RtACF中，CF=ACsinCAF0.744m，在RtCDG中，CG=CDsinCDE0.336m，FG=FC+CG1.1m.故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m.【说明】图7-10-1此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题.例9（xx苏州）如图7-10-1，在ABC中，AB=AC=5，BC=8.若BPC=BAC，则tanBPC=.【分析】图7-10-2先过点A作AEBC于点E，求得BAE=BAC，故BPC=BAE.再在RtBAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tanBPC=tanBAE=.【解】如图7-10-2，过点A作AEBC于点E，AB=AC=5，BE=BC=8=4，BAE=BAC，BPC=BAC，BPC=BAE.在RtBAE中，由勾股定理得:AE=，tanBPC=tanBAE=.故答案为：.【说明】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值.图7-11-1例10（xx扬州）如图7-11-1，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN=（）A. B.C. D.【分析】如图7-11-2连接AC，通过三角形全等，求得BAC=30，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作MEON于E，则MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tanMCN.图7-11-2【解】AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC与RtADC中，AC=AC，AB=ADRtABCRtADC（HL）BAC=DAC=BAD=30，MC=NC.BC=AC.AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2.BC=2.在RtBMC中，CM=.AN=AM，MAN=60，MAN是等边三角形.MN=AM=AN=2.过M点作MEON于E，设NE=x，则CE=2x，MN2NE2=MC2 -EC2，即4 -x2=(2)2-(2-x)2解得：x=，EC=ME=tanMCN=.故选A.【说明】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.【复习建议】虽然上面的实例没有涉及到解直角三角形的各个方面，但也可以使我们看到解直角三角形这部分内容的中考试题的主要特点，因此，复习这部分内容时应注意如下几点：1.三角函数的定义是整个解直角三角形这部分内容的基础，因此要紧紧抓住不妨.这不仅仅意味着要记住它的形式定义，更要抓住它的本质.在初中阶段，由于三角函数把直角三角形中的边与角有机地结合起来，因而可用它有效地解决一些解直角三角形和一些简单的非直角三角形的问题.这里，抓住基本图形和顺利地将非基本图形转化为基本图形是非常重要的.2.转化是解直角三角形的一个重要思想，它包括两方面：一是将实际问题转化为数学问题，二是将复杂问题转化为简单问题，将组合问题转化为基本问题.因此，在复习与解题过程中，应注意体会与运用.注意引导学生发现这许许多多的实际问题转化为数学问题后，通常就那么几种模型.3.进几年苏州的中考中都以锐角三角函数的应用问题出现.因此在复习时应紧紧围绕基本概念、基本图形展开，在重点夯实“双基”的同时，还要重视学生的书写的规范，养成良好的解题习惯.4.要注意数学思想方法的渗透、总结.如在引导学生通过实际问题构建数学模型，并把不同类型的问题归纳到基本图形上去解决问题时，要强调“转化”思想的作用；在不同问题情景下解决问题时，要指导学生重视应用数形结合思想等.5.要注意培养学生数学建模能力及解决问题的能力，尤其对于常见的基本模型应使人人都要掌握的.在复习时我们可以通过串“典型图形”的方法，把在不同问题情境中的典型问题(如将图形分解为两个直角三角形的问题)串起来，以便培养学生数学建模能力及解决问题的能力.这样，既提高了解决问题的正确性，又提高了解题的能力和数学素养.