2019-2020年高中数学第三章推理与证明3.4反证法学业分层测评含解析北师大版选修.doc

2019-2020年高中数学第三章推理与证明3.4反证法学业分层测评含解析北师大版选修一、选择题1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角D没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】C2下列命题错误的是()A三角形中至少有一个内角不小于60B四面体的三组对棱都是异面直线C闭区间a，b上的单调函数f(x)至多有一个零点D设a，bZ，若a，b中至少有一个为奇数，则ab是奇数【解析】ab为奇数a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误【答案】D3“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D4设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数() A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则abc180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设AB90，正确顺序的序号为()ABCD【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论【答案】D二、填空题6(xx南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7(xx汕头高二检测)用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应是_【解析】与的关系有三种情况：，和”的反设应为“”【答案】8(xx石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)【解析】若a，b，则ab1，但a1，b2，故不能推出对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】三、解答题9已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【证明】假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3.而与abc2x22x32233矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等差数列【证明】假设， ， 成等差数列，则2，两边同时平方得ac24b.把b2ac代入ac24b，可得ac2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾所以， ， 不成等差数列能力提升1有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，故的假设是错误的，而的假设是正确的【答案】D2已知命题“在ABC中，AB.求证sin Asin B”若用反证法证明，得出的矛盾是()A与已知条件矛盾B与三角形内角和定理矛盾C与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin Asin B，因为0A，0B，所以AB或AB.其中AB与AB矛盾；AB与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立所以sin Asin B.【答案】C3刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”乙说：“我们四人中有人考得好”丙说：“乙和丁至少有一人没考好”丁说：“我没考好”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的_两人说对了【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确故答案为乙，丙【答案】乙，丙4(xx温州高二检测)设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明：数列cn不是等比数列【证明】假设数列cn是等比数列，则(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)因为an，bn是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以aan1an1，bbn1bn1.代入并整理，得2anbnan1bn1an1bn1anbn，即2.当p，q异号时，2，与相矛盾故数列cn不是等比数列