2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式2学案新人教A版选修.doc

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式2学案新人教A版选修学习目标1能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题2能解决有限制条件的组合问题知识链接1满足什么条件的两个组合是相同的组合？答如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同)2组合数公式的两种形式在应用中如何选择？答在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择公式C常用于n为具体自然数的题目一般偏向于组合数的计算公式C常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明预习导引1组合的有关概念从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数，用符号C表示其公式为C(n，mN*，mn)特别地CC1.2组合应用题的解法(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答(2)有限制条件的组合应用题的解法常用解法有：直接法、间接法可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.要点一分组、分配问题例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本解(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC90种(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法根据分步乘法计数原理可得：CCCxA，所以x15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC60种方法(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360种方法(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC90种方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CCCA360种方法；“1、1、4型”，有CA90种方法所以一共有9036090540种方法规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益分清是分组问题还是分配问题是很关键的(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配跟踪演练1有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有多少种放法？(2)恰有1个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44256(种)(2)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2、1、1的三组，有C种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可由分步乘法计数原理知，共有放法CCCA144(种)(3)“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法(4)先从4个盒子中任意拿走2个，有C种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3，1)，(2，2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有CC种放法；第2类，有C种放法因此共有CCC14(种)由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有C1484(种)要点二与几何图形有关的组合问题例2已知平面平面，在内有4个点，在内有6个点(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解(1)所作出的平面有三类：内1点，内2点确定的平面，有CC个内2点，内1点确定的平面，有CC个，本身，有2个故所作的平面最多有CCCC298(个)所以最多可作98个不同的平面(2)所作的三棱锥有三类：内1点，内3点确定的三棱锥，有CC个内2点，内2点确定的三棱锥，有CC个内3点，内1点确定的三棱锥，有CC个最多可作出的三棱锥有：CCCCCC194(个)所以最多可构成194个三棱锥(3)当等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等体积不相同的三棱锥最多有CCCC114(个)所以最多有114个体积不同的三棱锥规律方法解决与几何图形有关的问题时，要善于利用几何图形的性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题跟踪演练2平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解法一我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有CC48(个)不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有CC112(个)不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C56(个)不同的三角形由分类加法计数原理，不同的三角形共有4811256216(个)法二间接法：CC2204216(个)要点三排列、组合的综合应用例3有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表解(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先取后排，有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其中3人全排有A种，共CCA360(种)规律方法解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步跟踪演练3有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解法一从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：第1类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个第2类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数C22A个第3类：0和1都不取，有不同的三位数C23A个综上所述，不同的三位数共有CCC22C22AC23A432(个)法二任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故不同的三位数共有C23AC22A432(个).1身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A5 040 B36 C18 D20答案D解析最高的同学只能站在中间，它别无选择；从剩下的6名同学中任选3名，有C种不同的方法，他们由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同学由高到低的排列次序也唯一不同的排法共有C20(种)2某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A25种 B35种 C820种 D840种答案A解析分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C种选法；两人都不参加，有C种选法所以共有2CC25(种)不同的选派方案3某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_种(用数字作答)答案30解析分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有CCCC30(种)选法4正六边形顶点和中心共7个点，可组成_个三角形答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C332.1应用组合知识解决实际问题的四个过程2注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.一、基础达标1凸十边形的对角线的条数为()A10 B35 C45 D90答案B解析C1035，所以选B.2在直角坐标系xOy平面上，平行直线xm(m0，1，2，3，4)，与平行直线yn(n0，1，2，3，4)组成的图形中，矩形共有()A25个 B100个 C36个 D200个答案B解析CC1010100，所以选B.3某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A14 B24 C28 D48答案A解析6人中选4人的方案有C15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种4现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484答案C解析含1张红色卡片，有CC264(种)不同取法；不含红色卡片有C3C208(种)取法，共有264208472(种)取法5在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有_种答案4 186解析分两类，有4件次品的抽法为CC种；有3件次品的抽法有CC种，所以共有CCCC4 186(种)不同的抽法6某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为_答案80解析先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有CCCCC80(种)7空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？解不考虑任何限制，10个点可得C个四面体由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有C种情形构成四面体的个数为CC2105205.二、能力提升8编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A60种 B20种 C10种 D8种答案C解析四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C10.9已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A36个 B72个 C63个 D126个答案D解析此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C126(个)10(xx重庆理)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)答案590解析分三类：选1名骨科医生，则有C(CCCCCC)360(种)；选2名骨科医生，则有C(CCCC)210(种)；选3名骨科医生，则有CCC20(种)，骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.11在某次数字测验中，记座号为n(n1，2，3，4)的同学的考试成绩为f(n)若f(n)70，85，88，90，98，100，且满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则这4位同学考试成绩的所有可能有多少种？解f(1)f(2)f(3)f(4)可分为f(1)f(2)f(3)f(4)；f(1)f(2)f(3)f(4)两种情形对于，只需在集合中取4个数字，有C种，对于，只需在集合中取3个数字，有C种即不同的取法共有CC35(种)12在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加解(1)C792(种)不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C36(种)不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C126(种)不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C3(种)选法，再从另外的9人中选4人有C种选法，共有CC378(种)不同的选法(5)法一(直接法)可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种；第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有CC种共有CCCCCC666(种)不同的选法法二(间接法)12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人都不参加的有C种，所以，共有CC666(种)不同的选法三、探究与创新13从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解把所选取的运动员的情况分为三类第一类：甲、乙两人均不参赛，有A24(种)；第二类：甲、乙两人有且只有1人参赛，共有CC(AA)144(种)；第三类：甲、乙两人都参赛，有C(A2AA)84(种)由分类加法计数原理知，所有的参赛方法共有2414484252(种)