2019-2020年高中数学 1.7 2定积分的概念教案 新人教A版选修2-2.doc

2019-2020年高中数学 1.7 2定积分的概念教案 新人教A版选修2-2一、定积分的实际背景1. 曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.推广为yOMPQNBxCAA曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： 0x1x2xxn Oxy y = f (x)曲边梯形面积的确定步骤：(1)分割 任取分点,把底边a,b分成n个小区间, (. 小区间长度记为 (2) 取近似 在每个小区间上任取一点 竖起高线,则得小长条面积的近似值为 (); (3) 求和 把n个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A的近似值;(4)取极限 令小区间长度的最大值 趋于零,则和式 的极限就是曲边梯形面积A的精确值，即2变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，且0，要计算这段时间内所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似：(1)分割 任取分点，把分成 个小段，每小段长为 （）; (2)取近似 把每小段 上的运动视为匀速，任取时刻，作乘积，显然这小段时间所走路程 可近似表示为 （）;(3)求和 把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即 ;(4)取极限 当 时，上述总和的极限就是的精确值，即.二、定积分的概念 定义 设函数在上有定义，任取分点,分为n个小区间.记 , 再在每个小区间上任取一点 ，作乘积 的和式：如果时,上述极限存在（即，这个极限值与 的分割及点的取法均无关），则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为其中称为被积函数,为被积式，为积分变量，为积分区间，分别称为积分下限和上限.定积分定义的说明：(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如： .一般地，. (2)定义中要求积分限 ，我们补充如下规定：当 时，,当 时， .(3)定积分的存在性：当 在 上连续或只有有限个第一类间断点时, 在上的定积分存在（也称可积）.三、定积分的几何意义如果 ，则, 此时表示由曲线，及 轴所围成的曲边梯形的面积A，即 .如果0，则， 此时表示由曲线，及 轴所围成的曲边梯形的面积A的负值，即 .如果 在上有正有负时，则表示由曲线，直线及 x轴所围成的平面图形的面积位于x轴上方的面积减去位于x轴下方的面积，如右图所示，即四、定积分的性质性质1 函数的代数和可逐项积分，即 .性质2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即（为常数）. 性质3 （积分区间的分割性质） 若 ，则 .注：对于 三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，譬如： ，则 ,仍有性质4 （积分的比较性质） 在 上若g(x)，则 .性质5 （积分估值性质） 设M与m分别是在上的最大值与最小值，则 .证 因为 （题设），由性质4得，再将常数因子提出，并利用 ， 即可得证.性质6 （积分中值定理） 如果在上连续，则至少存在一点，使得 .证 将性质5中不等式除以 ，得 M.设,即.由于为区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）.因此在上至少有一点 ，使得，即例 估计定积分 的值.解 先求 在-1,1上的最大值和最小值. 因为,令 ，得驻点 x=0 ，比较 在驻点及区间端点处的函数值 ,故最大值 , 最小值 m = .由估值性质得， 2 .第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分设函数在 上连续, ，于是积分是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成 ，于是这个积分就写成了.当在 上变动时，对应于每一个 值,积分 就有一个确定的值，因此是变上限 的一个函数，记作 =（ ）通常称函数 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理1 如果函数在区间上连续，则变上限积分=在上可导，且其导数是 （ ）.推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数=即为其原函数.例1 计算= 在=0 ,处的导数.解 因为=,故 ；.例 2 求下列函数的导数： (1)；解 这里是的复合函数，其中中间变量，所以按复合函数求导法则，有 .(2).解 .二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 定理2 设函数在闭区间上连续，又 是的任一个原函数，则有.证 由定理1知，变上限积分 也是的一个原函数，于是知, 为一常数, 即 .我们来确定常数 的值，为此，令 ，有，得.因此有 .再令，得所求积分为 .因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得 ,其中.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式： .例1 求定积分： (1) ； （2） ；（3） .解 （1）.（2）.（3）在上写成分段函数的形式 于是 .例2 计算.解 因为 时,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里是 的复合函数,其中,所以 , 于是有 . 思考题1.若 ，2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数在积分区间上连续. 问当 在区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算 其中 第三节 定积分的积分方法一、定积分的换元积分法例1 求 .解一 =于是 = .上述方法，要求求得的不定积分、变量必须还原，但是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去，这只要将原来变量的上、下限按照所用的代换式换成新变量的相应上、下限即可.本题可用下面方法来解.解二 设 ，即.当时,;当 时，.于是.解二要比解一来得简单一些，因为它省掉了变量回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的.以后在定积分使用换元法时，就按照这种换元同时变换上下限的方法来作.一般地，定积分换元法可叙述如下：设在上连续,而满足下列条件：（1）在上有连续导数； （2）,且当 在上变化时,的值在上变化，则有换元公式： .上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积.应用中，我们强调指出：换元必须换限.（原）上限对（新）上限，（原）下限对（新）下限.例2 求.解 设，即.换积分限：当 时，,当 时，,于是 .例3 求.解 设，则 .换积分限:当时，; 时，,于是 =.例4 求.解一 （换元法）令 ，所以，当 时，；当时，于是.解二 （凑微分法） .注意:求定积分一定要注意定积分的存在性. 二、定积分的分部积分法设,在a,b上有连续导数，则有 .该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例5 求.解 .例6 求.解 .因为时, ,这时;x1时,这时.于是,分别用分部积分求右端两个积分得 , ,最后得 .第四节 定积分的应用一、 定积分应用的微元法 (1) 所求量（设为 ）与一个给定区间 有关，且在该区间上具有可加性. 就是说，是确定于 上的整体量，当把 分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即 .(2) 所求量 在区间 上的分布是不均匀的，也就是说， 的值与区间 的长不成正比.（否则的话， 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.定积分应用的微元法： (一) 在区间 上任取一个微小区间 ，然后写出在这个小区间上的部分量的近似值，记为(称为的微元);（二） 将微元在上积分（无限累加），即得微元法中微元的两点说明： (1) 作为的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于的高阶无穷小. 即 .这样我们就知道了，称作微元的量 ，实际上是所求量的微分 ;(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 . 二、用定积分求平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（1） 曲线及 轴所围图形，如下页左图，面积微元，面积. （2） 由上、下两条曲线及所围成的图形，面积微元，面积. （3）由左右两条曲线及所围成图形面积微元（注意，这时就应取横条矩形 ，即取 为积分变量），面积. 例1 求两条抛物线所围成的图形的面积 .解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定积分区间：解方程组得交点（0，0）及（1，1）. (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 均可，习惯上取竖条，即取 为积分变量，变化范围为0，1，于是(3)将表示成定积分，并计算2. 极坐标下的面积计算 曲边扇形：是指由曲线及两条射线所围成的图形（如右下图）. 取为积分变量，其变化范围为，在微小区间 上“以常代变”，即以小扇形面积 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为将在上积分,便得曲边扇形面积为例2 计算双纽线所围成的图形的面积（如下图所示）.解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限 的变化范围为 ，于是三、用定积分求体积例6 设有底圆半径为 的圆柱，被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.解 取坐标系如图，则底圆方程为 在 处垂直于 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为及 ，即 及，其面积为，从而得楔形体积为 例7 求由星形线 绕x轴旋转所成旋转体体积（如图）.解 由方程 解出 ，于是所求体积为