2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第4讲 二次函数与幂函数.doc

2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第4讲 二次函数与幂函数最新考纲1.会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质；2.了解幂函数的概念；3.结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况知 识 梳 理1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R 0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)()(2)幂函数的图象不经过第四象限()(3)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()2(xx湛江二模)若关于x的方程x2mx0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(，1)(1，)C(，2)(2，)D(2,2)解析因为关于x的方程x2mx0有两个不相等的实数根，所以m2410，即m21，解得m1或m1，故选B.答案B3.(6a3)的最大值为()A9B C3D解析因为，由于6a3，所以当a时，有最大值.答案B4函数y的图象是()解析显然f(x)f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0x1时，x；当x1时，x，知只有B选项符合答案B5(人教A必修1P82A10改编)已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减答案y(0，)考点一二次函数的图象及应用例1 (1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()(2)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()Aa22a16Ba22a16C16D16解析(1)由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误(2)令f(x)g(x)，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28，即x22axa240，解得xa2或xa2.f(x)与g(x)的图象如图由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a2)，H2(x)的最大值为g(a2)，ABf(a2)g(a2)(a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)(a2)a2816.答案(1)D(2)C规律方法(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手(2)而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错【训练1】 (xx杭州模拟)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()AB CD解析因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确答案B考点二二次函数在给定区间上的最值问题深度思考本题是对称轴动而区间不动，你应该考虑对称轴x与区间0,1的位置关系，结合图形分析确定分类讨论的标准例2 已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值解当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0,1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.当1，即0a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min规律方法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型；轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解【训练2】 若将例2中的函数改为f(x)x22ax，其他不变，应如何求解？解f(x)x22ax(xa)2a2，对称轴为xa.当a0时，f(x)在0,1上是增函数，f(x)minf(0)0.当0a1时，f(x)minf(a)a2.当a1时，f(x)在0,1上是减函数，f(x)minf(1)12a，综上所述，f(x)min考点三幂函数的图象和性质例3 (1)(xx韶关质检)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数(2) 1.，1的大小关系为_解析(1)设f(x)x，由已知得，解得1，因此f(x)x1，易知该函数为奇函数(2) 把1看作，幂函数y在(0，)上是增函数00.911.1，1.即11.答案(1)A(2)11.规律方法(1)幂函数解析式一定要设为yx(为常数)的形式(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键【训练3】 (1)已知幂函数f(x)(t2t1)(tN)是偶函数，则实数t的值为()A0B1或1 C1D0或1(2)(xx潍坊模拟)当0x1时，函数f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_解析(1)因为函数为幂函数，所以t2t11，即t2t0，所以t0或t1.当t0时，函数为f(x)为奇函数，不满足条件当t1时，f(x)为偶函数，所以t1.(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)答案(1)C(2)h(x)g(x)f(x)思想方法1二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象和性质求解2幂函数yx(R)图象的特征0时，图象过原点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；0时，图象不过原点，经过(1,1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立易错防范1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1二次函数yx24xt图象的顶点在x轴上，则t的值是()A4B4 C2D2解析二次函数图象的顶点在x轴上，所以424(1)t0，解得t4.答案A2(xx郑州检测)若函数f(x)x2axb的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)()A在(，2上递减，在2，)上递增B在(，3)上递增C在1,3上递增D单调性不能确定解析由已知可得该函数的图象的对称轴为x2，又二次项系数为10，所以f(x)在(，2上是递减的，在2，)上是递增的答案A3若a0，则0.5a,5a,5a的大小关系是()A5a5a0.5aB5a0.5a5aC0.5a5a5aD5a5a0.5a解析5aa，因为a0时，函数yxa单调递减，且0.55，所以5a0.5a5a.答案B4(xx蚌埠模拟)若二次函数f(x)ax2bxc满足f(x1)f(x2)，则f(x1x2)等于()ABCcD解析f(x1)f(x2)且f(x)的图象关于x对称，x1x2.f(x1x2)fabcc.答案C5(xx山东师大附中期中)“a1”是“函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数，则满足对称轴2a2，即a1，所以“a1”是“函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数”的充分不必要条件答案B二、填空题6二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_答案y(x2)217当时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限解析当1、1、3时，yx的图象经过第一、三象限；当时，yx的图象经过第一象限答案二、四8(xx江苏卷)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.答案三、解答题9已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数解(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.10已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当a0时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.(2)当0a1时，f(x)maxa2a1，a2a12，a2a10，a(舍)(3)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A(0,1)B(0,1C(，1)D(，1解析用特殊值法令m0，由f(x)0得x适合，排除A，B.令m1，由f(x)0得x1适合，排除C.答案D12(xx武汉模拟)已知函数f(x)ax22axb(1a3)，且x1x2，x1x21a，则下列说法正确的是()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析f(x)的对称轴为x1，因为1a3，则21a0，若x1x21，则x1x22，不满足x1x21a且21a0；若x11，x21时，|x21|1x1|x211x1x1x223a0(1a3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)f(x1)；若1x1x2，则此时x1x22，又因为f(x)在1，)上为增函数，所以f(x1)f(x2)答案A13(xx江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)x，当x1时，恒有f(x)x，则的取值范围是_解析当x1时，恒有f(x)x，即当x1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象，由图象可知1时满足题意答案(，1)14(xx辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f(x)(xR)的增区间；(2)写出函数f(x)(xR)的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2(x1,2)，求函数g(x)的最小值解(1)f(x)在区间(1,0)，(1，)上单调递增(2)设x0，则x0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x，f(x)f(x)(x)22(x)x22x(x0)，f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0时，g(1)12a为最小值；当1a12，即0a1时，g(a1)a22a1为最小值；当a12，即a1时，g(2)24a为最小值综上，g(x)min