2019-2020年高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布课时分层作业六十六10.3二项式定理理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布课时分层作业六十六10.3二项式定理理一、选择题(每小题5分,共35分)1.化简1+3x+3x2+x3=()A.x4B.(x+1)3C.(x+1)4D.(x-1)3【解析】选B.原式=+x+x2+x3=(1+x)3=(x+1)3.2.的展开式中,x2y4的系数是()A.30B.-30C.60D.-60【解析】选C.Tk+1=(-2y)k=(-2)kx6-kyk,由题意,k=4,所以x2y4的系数为(-2)4=60.3.(xx四川高考)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4【解析】选A.二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=x6-rir,则其展开式中含x4的项是6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为x4i2=-15x4.4.(xx九江模拟)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-121【解析】选D.展开式中含x3项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3 =-121.5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+a6x6,且a1+a2+a6=63,则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-3【解析】选D.令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+a6,又a1+a2+a3+a6=63,所以(1+m)6=64=26,故m=1或m=-3.6.(xx衡水模拟)的展开式中的常数项是()A.352B.-352C.1 120D.-1 120【解题指南】把三项的乘方问题转化为二项式定理求解.【解析】选C.原式=+(-4)+(-4)2+(-4)3+(-4)4,所以其常数项为42+4(-4)2+(-4)4=1 120.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.原式=,Tk+1=(2x)8-k=(-1)k28-kx8-2k,由8-2k=0,得k=4,所以常数项为:(-1)424=1 120.7.(xx海口模拟)若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于()A.B.C.1D.2【解析】选D.依题意,注意到的展开式的通项公式是Tr+1= x10-r=x10-2r,的展开式中含x4(当r=3时)、x6(当r=2时)项的系数分别为、,因此由题意得-a=120-45a=30,由此解得a=2.【变式备选】(xx济南模拟)(x+2)2(1-x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为()A.5B.3C.2D.0【解析】选A.常数项为22=4,x7系数为(-1)5=-1,因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2x-3y)4的展开式中二项式系数最大的项为_.【解析】展开式共有五项,二项式系数最大的项为T2+1=(2x)2(-3y)2=216x2y2.答案:216x2y2【易错警示】解答本题易误填6,出错的原因是题意理解不准,误填二项式系数.9.(xx兰州模拟)设(x-a)8=a0+a1x+a2x2+a8x8,若a5+a8=-6,则实数a的值为_.【解析】由二项展开式的通项公式可得a5=(-a)3=-56a3,a8=(-a)0=1.因为a5+a8=-6,所以-56a3+1=-6,即a3=,所以a=.答案:10.(xx山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=_.【解析】由题意,得(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.答案:41.(5分)+(x+1)6+(2x2+y)8的展开式中含x2项的系数和为()A.24B.-9C.39D.55【解析】选D.对,T2+1=(x2)2=4x2=24x2,对(x+1)6,T4+1=x214=15x2,对(2x2+y)8,T7+1=2x2y7=16x2y7.所以,所求和为24+15+16=55.【易错警示】解答本题易误选C,出错的原因是认为(2x2+y)8展开式中没有符合条件的项.2.(5分)(xx洛阳模拟)已知bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n对任意xR恒成立,且a1=9,a2=36,则b=()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n,而bxn+1=b1+(x-1)n+1=b+(x-1)+(x-1)2+(x-1)n+1,所以b=a1=9,b=a2=36,故n=9,b=1.【变式备选】若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+a11)等于()A.27B.28C.7D.8【解析】选C.令x=-1得a0+a1+a2+a12=28;令x=-3得a0-a1+a2-a3+a12=0.-得2(a1+a3+a11)=28,所以a1+a3+a11=27,所以log2(a1+a3+a11)=7.3.(5分)(xx大连模拟)设a=sin xdx,则二项式的展开式中的常数项是_.【解析】a=sin xdx=(-cos x)=2,二项展开式的通项是Tr+1=(2)6-r=26-r(-1)rx3-r,令3-r=0,得r=3,故二项展开式中的常数项是-23=-160.答案:-1604.(12分)求证:1+2+22+25n-1(nN*)能被31整除.【证明】因为1+2+22+25n-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+31+-1=31(31n-1+31n-2+),显然31n-1+31n-2+为整数,所以原式能被31整除.【变式备选】求S=+除以9的余数.【解析】S=+=227-1=89-1=(9-1)9-1=99-98+9-1=9(98-97+)-2.因为98-97+是整数,所以S被9除的余数为7.5.(13分)(xx长春模拟)已知二项式, (1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.【解析】(1)由题意可得+=2,整理得n2-21n+98=0,解得n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,所以T4的系数为23=,T5的系数为24=70.当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,所以T8的系数为27=3 432.(2)由题意可得+=79,整理得n2+n-156=0.解得n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大,因为=(1+4x)12,所以解得9.4k10.4,所以k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=210x10=16 896x10.