2019-2020年高考数学一轮复习第十六章曲线与方程16.2抛物线讲义.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第十六章曲线与方程16.2抛物线讲义考点抛物线标准方程及其几何性质1.(xx课标全国理改编,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为.答案162.(xx课标全国改编,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=.答案23.(xx辽宁改编,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为.答案4.(xx四川改编,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是.答案35.(xx浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.解析(1)设直线AP的斜率为k,k=x-,因为-x0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)教师用书专用(79)7.(xx课标全国理改编,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为.答案y2=4x或y2=16x8.(xx山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知F.设D(t,0)(t0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由xD0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意=+=0,得b=-.设E(xE,yE),则yE=-,xE=,当4时,kAE=-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0+2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y00,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d=4.则ABE的面积S=416,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16.9.(xx湖南理,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10,k20,证明:0,k20,k1k2,所以0k1k2=1.故0,所以点M到直线l的距离d=.故当k1=-时,d取最小值.由题设得,=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.三年模拟A组xx模拟基础题组考点抛物线标准方程及其几何性质1.(xx河北普通高中质量监测,20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F与椭圆C:+=1的一个焦点重合,点A(x0,2)在抛物线上,过焦点F的直线l交抛物线于M,N两点.(1)求抛物线C的方程以及|AF|的值;(2)记抛物线C的准线与x轴交于点B,若=,|BM|2+|BN|2=40,求实数的值.解析(1)依题意知,椭圆C:+=1中,a2=6,b2=5,故c2=a2-b2=1,故F(1,0),故=1,则2p=4,故抛物线C的方程为y2=4x.将(x0,2)代入y2=4x,解得x0=1,故|AF|=1+=2.(2)设l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立得消去x,得y2-4my-4=0,所以又=,则(1-x1,-y1)=(x2-1,y2),即y1=-y2,代入得消去y2得4m2=+-2.易得B(-1,0),则=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),则|BM|2+|BN|2=+=(x1+1)2+(x2+1)2+=+2(x1+x2)+2+=(my1+1)2+(my2+1)2+2(my1+my2+2)+2+=(m2+1)(+)+4m(y1+y2)+8=(m2+1)(16m2+8)+4m4m+8=16m4+40m2+16,由16m4+40m2+16=40,解得m2=,故+=4,解得=2.2.(xx江苏南京调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p0)的准线l与x轴交于点M,过M的直线与抛物线交于A,B两点.设A(x1,y1)到准线l的距离为d,且d=p(0).(1)若y1=d=1,求抛物线的标准方程;(2)若+=0,求证:直线AB的斜率为定值.解析(1)由条件知,A,代入抛物线方程得p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.(2)证明:设B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(k0).将直线AB的方程代入y2=2px,消去y得k2x2+p(k2-2)x+=0,所以x1=,x2=.因为d=p,所以x1+=p,又+=0,所以x1+=(x2-x1),所以p=x2-x1=,所以k2=2-2,所以直线AB的斜率为定值.B组xx模拟提升题组(满分:30分时间:15分钟)解答题(共30分)1.(xx江苏苏州自主学习测试)已知抛物线C的方程为y2=2px(p0),点R(1,2)在抛物线C上.(1)求抛物线C的方程;(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B,若直线AR,BR分别交直线l:y=2x+2于M,N两点,求|MN|最小时直线AB的方程.解析(1) 点R(1,2)在抛物线C上,2p=4,p=2,抛物线C的方程为y2=4x. (2)显然直线AB的斜率存在且不为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为 x=m(y-1)+1(m0).由消去x,整理得y2-4my+4(m-1)=0.设直线AR的方程为 y=k1(x-1)+2,由得点M的横坐标xM=,又k1=,xM=-.同理,点N的横坐标xN=-.|y2-y1|=4=|xM-xN|=2=8=2.令m-1=t,t0,则m=t+1,|MN|=2=2.|MN|=2,当t=-2,即m=-1时,|MN|的最小值为,此时直线AB的方程为x+y-2=0.2.(xx江苏常州高级中学调研,23)若抛物线C的顶点在坐标原点O,其图象关于x轴对称,且经过点M(2,2).(1)求抛物线C的方程;(2)过点M作抛物线C的两条弦MA,MB,设MA,MB所在直线的斜率分别为k1,k2,当k1,k2变化且满足k1+k2=-1时,证明直线AB过定点,并求出该定点坐标.解析(1)由题意可设所求抛物线的标准方程为y2=2px,因为抛物线经过点M(2,2),故22=2p22p=2,从而y2=2x.(2)抛物线的弦MA,MB与抛物线交于两点,从而它们所在直线的斜率k1,k2满足k10,k20,设A(xA,yA),B(xB,yB),由得xA=,yA=-2,同理xB=,yB=-2,从而A,B所在直线的方程为:-x-=0,由k1+k2=-1,可得:(x+2y+2)+(x+2y+2)-(y+4)k1=0,因为k1R,所以解得x=6,y=-4,所以直线AB过定点,且定点坐标为(6,-4).C组xx模拟方法题组方法直线与抛物线的位置关系1.(xx苏北三市三模,22)在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=-1与动直线y=n的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)过动点M作曲线E的两条切线,切点分别为A,B,求证:AMB的大小为定值.解析(1)因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.连结PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以|MP|=|PF|.所以点P的轨迹是抛物线.其焦点为F(1,0),准线为x=-1.所以轨迹E的方程为y2=4x.(2)证明:由题意知,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),由得ky2-4y+4k+4n=0,所以1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*).因为2=n2+40,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1,k2,因为k1k2=-1,所以AMB=90,为定值.2.(xx江苏新海中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,过点M(0,-2)作抛物线的切线MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于B,C两点,与直线OA交于点N.(1)求抛物线的方程;(2)+的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.解析(1)由题设,知-=-,即p=,所以抛物线的方程为y2=x.(2)设A(x0,y0),因为函数y=-的导函数为y=-,所以直线MA的方程为y-y0=-(x-x0),因为点M(0,-2)在直线MA上,所以-2-y0=-(0-x0).由解得A(16,-4).所以直线OA的方程为y=-x.设直线BC的方程为y=kx-2,B(xB,yB),C(xC,yC),N(xN,yN),由得k2x2-(4k+1)x+4=0,易知k0,所以xB+xC=,xBxC=.由得xN=.所以,+=+=2,故+为定值2.