2019-2020年高二数学 7.4简单的线性规划(备课资料)大纲人教版必修.doc

2019-2020年高二数学 7.4简单的线性规划(备课资料)大纲人教版必修一、平面区域问题在直角坐标平面内，直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，点P(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0；若点P不在直线l上，则Ax0+By0+C0或Ax0+By0+C0，二者必居其一.直线l：Ax+By+C=0将平面划分为两个半平面Ax+By+C0和Ax+By+C0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式.要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验.另外，还可证明如下结论：（1）若A0，则Ax+By+C0表示直线l:Ax+By+C=0右侧的半平面，Ax+By+C0表示直线l左侧的半平面.（2）若B0，则Ax+By+C0表示直线l:Ax+By+C=0上方的半平面，Ax+By+C0表示直线l下方的半平面.例1在直角坐标平面上有两个区域M和N.M是由y0，yx和yz-x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域，它由不等式txt+1的确定，t的取值范围是0t1.设M和N的公共面积是函数f(t)，求证：f(t)=-t2+t+.导析：这是一个基本问题，关键是确定M和N的公共部分的形状.可先让学生自行画出M、N这两个区域，然后再作判断.如图所示，依题意，区域M是图中AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0t1)之间的带形域.M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF（包括边界）.关于五边形ACDEF面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑：（1）AOB的面积减去RtODC、RtBEF的面积；（2）过A作x轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；（3）连结CF，将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解.例2已知实数x、y满足2x+y1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值.导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形.u=(x+2)2+(y-1)2-5显然，(x+2)2+(y-1)2表示点P（x,y)与定点A（-2,1)的距离的平方.由约束条件2x+y1知，点P（x，y）在直线l：2x+y=1的右上方区域G.于是，问题转化为求定点A（-2，1）到区域G的最近距离.由图知，点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值.d=d2=.故umin=d2-5=-.说明：这是一个条件最值问题，由于所求式呈现出两点间距离的特点，所以我们应用了等价转化的思想，应用解析法使问题得到巧妙地解决.例3设实数x、y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设a-1，在（1）所求的区域内，求函数f(x,y)=y-ax的最值.导析：必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手.（1）已知的不等式组等价于解得点（x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）.其中，AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.（2）f(x,y)表示直线l：y-ax=k在y轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点.a-1,当直线l过顶点C时，f(x,y)最大.C点的坐标为（-3，7），f(x,y)的最大值为7+3a.如果-1a2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，f(x,y)最小，最小值为-1-2a.如果a2，那么当直线l过顶点B（3，1）时，f(x,y)最小，最小值为1-3a.说明：由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是将直线l动起来.二、参考例题例1不等式2x-y-60表示的平面区域在直线2x-y-6=0的（ ）A.左上方B.右上方C.左下方D.右下方分析：因直线2x-y-6=0不过原点，故可取原点（0，0）代入2x-y-6，得20-0-6=-60，在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，结合图形可知与原点同在直线一侧的平面区域表示2x-y-60，故2x-y-6=0右下方表示2x-y-60.解：在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，将原点（0，0）代入直线方程2x-y-6=0即可判定，应选D.例2图中阴影部分可用二元一次不等式组表示（ ）A.B.C.D.分析：结合图形可知，相关联的直线方程分别为x=0，y=-2，2x-y+4=0，再由原点(0,0）代入2x-y+4可知20-0+4=40，故与原点同侧的平面区域表示2x-y+40的区域.解：找出相关直线方程后，将原点（0，0）坐标代入直线方程判定平面区域可知选C.例3画出不等式组表示的平面区域图形，并计算它表示的平面区域的面积.分析：分别画出直线x=3,x+y=0，x+5-y=0，再代点判定平面区域.解：在直角坐标系画出直线x=3,x+y=0，x-y+5=0，因原点（0，0）不在直线x-y+5=0上，故将原点（0，0）代入x-y+5可知，原点所在平面区域表示x-y+50部分，因原点在直线x+y=0上，故取（0，1）代入x+y判定可知点（0，1）所在平面区域表示x+y0部分，如图所示：解相应的方程组可求出A、B、C三点的坐标分别为（3，8），（-），（3，-3）.为计算ABC的面积，可将AC作底边，点B作三角形顶点.SABC=.例 4求下面不等式组表示的平面区域内的整点.分析：先画出不等式组所表示的平面区域，再根据图形找出整点.解：如图作直线l1：3x-2y-2=0，l2:x+4y+4=0,l3:2x+y-6=0，分别求出l1与l3的交点A（2，2），l1与l2的交点B（0，-1），l2与l3的交点C（4，-2），直线x=1与边界交于E（1，）、F（1，-），直线x=2与边界交于A（2，2）、G（2，-），直线x=3与边界交于M（3，0）、N（3，-）.由图可看出（1，-1）、（1，0）、（2，1）、（2，0）、（2，-1）、（3，-1）即为所求的整点.例5求不等式x-2+y-22表示的平面区域的面积.分析一：依绝对值的定义去掉绝对值符号.解法一：x-2+y-22作出以上不等式组所表示的平面区域；它是边长为2的正方形，其面积为8.分析二：因x-2+y-2=2是x+y=2向右、向上各平移2个单位而得到的，利用平移前后不改变图形的大小和形状解题.解法二：x-2+y-22是由x+y2经过向右、向上各平移2个单位得到的，所以x-2+y-22表示的平面区域的面积等于x+y2表示的平面区域的面积，由于x+y=2图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如图所示：的面积为2.故x+y2的面积为42=8.所求面积为8.三、参考练习题1画出下列不等式表示的平面区域.（1）2x+y-100;(2)y-2+3.解：（1）先画出直线2x+y-10=0(画成虚线)，取点（1，1），代入2x+y-10,有21+1-10=-702x+y-100表示的区域是直线2x+y-10=0的左下半平面.如图所示.评述：本题用点（1，1）代入2x+y-10,来判断2x+y-100所表示的区域，遵循的是最简化原则.(2) 将y-2x+3变形为2x+y-30,首先画出2x+y-3=0（画成实线）.取点（0，0）代入2x+y-3,有20+0-3=-30.2x+y-30表示的平面区域是直线2x+y-3=0的左下半平面.2x+y-30表示的平面区域是直线2x+y-3=0以及左下半平面.如图.评述：本题解答过程中将y-2x+3变形为2x+y-30来处理，其他类似情况，也须同样变形.3.画出下列不等式组表示的平面区域.解：不等式组的解集是x+y5， x-2y3， 的解集的交集.式区域是直线x+y-5=0左下半平面区域并且包括直线x+y-5=0.式区域是x-2y-3=0的右下半平面区域并且包括直线x-2y-3=0.如图所示.4画出不等式组表示的平面区域.解：不等式x3表示直线x=3左侧点的集合.不等式2yx即x-2y0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合.不等式3x+2y6即3x+2y-60表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合. 不等式3y0表示直线x-3y+9=0右下方点的集合.综上，不等式组表示的平面区域如图:评述：对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x、y），实数Ax+By+C的符号相同，所以只须在直线某一侧任取一点（x0,y0）代入，由Ax0+By0+C值的符号即可判断出Ax+By+C表示的是直线哪一侧的点集.备课资料一、简单线性规划问题的向量解法例1设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值.解：画出可行域如图所示中的阴影部分过原点O（0，0）作直线l0:2x+y=0，正法向量为n=(2,1).当直线2x+y=t沿着正法向量平行移动时，t的值就逐渐增大，当直线2x+y=t通过与可行域的公共点B（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最小值zmin=21+3=3；当直线2x+y=t通过与可行域的公共点C（5，2）时，目标函数z=2x+y取得最大值.zmax=25+2=12.例2求z=2x-y的最大值和最小值，式中变量x、y满足下列条件求z的最大值和最小值.解：如图所示可行域：过原点O（0，0）作直线l0:2x-y=0,正法向量为n=(2,-1),当直线2x-y=t沿着正法向量方向平行移动时，t的值就逐渐增大；当直线2x-y=t通过与可行域的公共点C（5，2）时，使目标函数z=2x-y取得最大值为：zmax=25-2=8；当直线2x-y=t沿着负法向量方向平行移动时，t的值就逐渐减小，当直线2x-y=t通过与可行域的公共点A（1，）时，目标函数z=2x-y取得最小值为：zmin=-.这道题若用课本提供的方法，用纵截距来做学生易出错.这是因为由z=2x-y得y=2x-z与例1相比此处z为直线l:y=2x-z的纵截距的相反数，故欲求z的最大值与最小值，需先求出直线系y=2x+t中与可行域有公共点的直线的纵截距的最小值与最大值，这样一正一反，概念容易混淆而出差错，而用按正法向量方向取最值不会出差错.为了避免这种差错，可以用横截距来做.由z=2x-y得x= (略）.通过例2 n种方法的比较不难看出用正法向量方法解题比较简单，学生容易掌握且不易出错.下面就用正法向量的方法解简单线性规划问题作一个说明.求x、y满足下列约束条件的目标函数z=ax+by的最大值与最小值：我们用符号K表示可行域（为便于说明仅假设可行域是有界的凸多边形），现在的问题是在可行域K中找一点（x0,y0），使ax0+by0达到最大（或最小）.设ax+by=t（把t作为参数）是表示平行直线系.在K中任取一点（x0,y0），使得ax0+by0=t就表示平行直线系中通过（x0,y0）的一条直线，而坐标原点到这直线的距离为d=,这说明把点(x0,y0)的坐标代入目标函数的绝对值正好是坐标原点到这条直线距离的倍（即d).所以我们要在可行域K中找一点（x0,y0)，使ax0+by0达到最大（或最小）就转化为在直线系ax+by=t中找一条直线，使得这条直线通过可行域中的某一点且这条直线找到原点的距离最大（或最小）.怎样寻找这条直线呢？先作l0:ax+by=0. （1）若l0与K无交点，则让直线系ax+by=t沿着正法向量方向从l0平行移动到与K有交点，如图，这时t为正且逐渐增大，移动到刚开始进入K且与K相交的那种点，这时原点到这直线的距离达到最小，即目标函数z=ax+by达到最小值zmin=ax0+by0；继续移动到刚开始要离开K但仍与K相交的那种点，这时原点到这直线的距离达到最大，即目标函数z=ax+by达到最大值zmax=ax0+by0.反之，如果让直线系ax+by=t沿着负法向量的方向从l0平行移动到与K刚有交点，如图所示，因为这时t为负且逐渐减小，移动到刚开始进入K且与K相交的那种点，这时原点到直线的距离达到最小，因t为负，此时目标函数达到最大值zmax=ax0+by0，移动到刚开始要离开K但仍与K相交的那种点时，此时直线到原点的距离最大，而目标函数达到最小值zmin=ax0+by0.（2）若l0与K有交点，如图，则直线系从l0开始沿正法向量方向平行移动的为最大值，沿负法向量方向平行移动的为最小值.本文从目标函数的法向量的观点来求最优解，而目标函数的法向量是教材上的阅读材料，不需要补充新的知识，学生理解容易，操作方便且不易出错，是提高学生能力的较好方法.二、参考例题例1已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值.分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组得C（），令t=300x+900y，即y=-,欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=-与直线y=-x平行，故作与y=-x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=3000+900125=112500.例2求z=600x+300y的最大值，使式中的x,y满足约束条件的整数值.分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示：四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）由方程组：得点C的坐标为（69,91)因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当时，z取最大值为zmax=60070+300900=69000.例3已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值.分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y2，表示直线x+2y=2上及右上方的点的集合；不等式2x+y1表示直线2x+y=1上及右上方的点的集合.可行域如图所示：作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t,(tR).x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.由图可知：当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zmin=1.备课资料参考练习题1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过xx元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本100015006000运费500400xx产品90100解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：z=90x+100y作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：由令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（）时，直线90x+100y=t中的截距最大，由此得出t的值也最大，最大值zmax=90=440.答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张.则目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值.解方程得M的坐标为（2，3）.答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.