2019-2020年高中第二册(下A)数学组合 (I).doc

2019-2020年高中第二册(下A)数学组合 (I)教学目标（一）教学知识点1.基本概念：组合、组合数.2.基本公式：组合数公式.（二）能力训练要求1.正确理解组合的意义.2.明确组合与排列的区别与联系.3.掌握组合数公式.4.能够应用组合数公式解决一些简单的问题.（三）德育渗透目标通过组合数公式的推导过程，要求学生学会用联系的观点看问题，从排列与组合的概念中找到区别与联系，加深对概念的认识，增强对组合数公式的记忆效果.教学重点组合数公式.教学难点组合数公式的推导.教学方法启发式、自学辅导法针对本节内容，要求学生通过自学探求组合与排列之间的联系，进而找到它们的区别，为进一步推导组合数公式作好铺垫.在组合数公式的推导过程中，启发学生从排列与组合的联系中找到推导公式的突破口，引导学生掌握由特殊到一般的研究方法，增强学生的探究能力.教具准备投影片.第一张：问题一（记作10.3.1 A）第二张：问题二（记作10.3.1 B）第三张：组合数公式推导（记作10.3.1 C）第四张：本节例题（记作10.3.1 D）教学过程.课题导入师前面几节课，我们一起学习了排列及其应用，下面，我们来看下面两个问题.（给出投影片10.3.1 A）1.甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，需要选2名作主持人，其中1名作正式主持人，一名作候补主持人，有多少种不同的方法？2.甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，需要选2名共同主持节目，有多少种不同的选法？师大家注意一下，这两个问题有何区别？生第1个问题就是我们所学的排列问题，对应于从3个不同元素中选2个不同元素的排列，选出的2个元素有顺序之分；第2个问题只需2个人选出来即可，无顺序的差别.师第2个问题中，所选2名主持人无顺序关系，因而它是从3个不同的元素中取出2个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组.这就是本节所要研究的组合问题.讲授新课1.组合（板书）一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.师下面大家比较一下排列与组合的概念，试说出它们的区别.生排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.师这位同学回答得很好，针对上述情况，我们可以试举一例：ab与ba是两个不同的排列，但它们却是同一个组合.2.组合数（板书）从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.师有了上述概念，我们就可将问题2的结论用组合数表示.生由问题2可知：不同选法有甲、乙，乙、丙，甲、丙三种，故有C=3种.师有了组合数的概念，我们可以从另一个角度来解决问题一.完成这件事可分两步：第一步：先从三人选出2名，有C种方法；第二步：再将选出的2人排列，有A种方法.由分步计数原理可知不同方法有CA种.而根据排列知识，所求不同方法为A.故可得A=CA.这一式子揭示了排列数与组合数的关系,即C=.师如果将上述关系加以推广，我们就可得到组合数公式.（给出投影片10.3.1 C）3.组合数公式（板书）C=(n,mN*,mn).师下面，我们做例题来熟悉组合数的运算.例1计算：（1）C;（2）C.解：（1）C=35;(2)C=120.例2已知-=,求C.解：由组合数公式得-=,化简得n2-23n+42=0.n=21或n=2.n5,n=2.C=C=28.例3求证：C=C.证明：C=,C=,C=C.评述：上述三个例题，目的都在于使学生熟悉组合数公式的应用.师我们接下来进行课堂练习.课堂练习课本P95练习 1，2，3，4，5，6.课时小结师通过本节学习，要求大家通过寻求排列、组合的区别，加深对组合概念的理解，通过排列、组合的联系，理解排列数、组合数公式之间的联系，并掌握组合数公式，并且能应用它分析解决一些简单问题.课后作业（一）课本P100习题10.3 1，3，4，5.（二）1.预习课本P96P98.2.预习提纲（1）组合数的两个性质.（2）组合问题在实际中有哪些应用？（3）注意组合数等式的实际模型.板书设计10.3 组合1.组合从n个不同元素中取出m个元素并成一组.2.组合数从n个不同元素中取出m个元素的所有组合个数.3.组合数公式C=例1 例2 例3解答过程学生练习备课资料参考例题例1用0到9这十个数字可组成多少个无重复数字且能被18整除的八位数？解：因为18=29，而2与9互质，所以所求八位数的末位数应是偶数，且各位数字之和为9的倍数.因为0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以只能除去0与9，或1与8，或2与7，或3与6，或4与5中的一对后再进行分类.将上述情况分两类讨论：（1）去掉0与9，将2、4、6、8中任一个排在个位，有CA种；（2）去掉1与8，2与7，3与6，4与5中其中一对，有C种方法，下一步再分为 两类：0排在末位，有A种；0不排在末位（0有六个位置可选），末位可排三个，偶数其中之一，有 AAA种，总共有CA+ C（A+ AAA）=92160种方法.例2要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选;（2）A、B、C三人不能入选;（3）A、B、C三人只有一人入选;（4）A、B、C三人至少一人入选;（5）A、B、C三人至多二人入选.解：（1）只需再从A、B、C之外的9人中选择2人，所以有C=36种不同选法.（2）由于A、B、C三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有C=C=126种选法.（3）可分两步：先从A、B、C三人中选出1人，有C种选法，再从其余的9人中选择4人，有C种选法.所以共有CC=378种选法.（4）（直接法）可分三类：A、B、C三人只选一人，则还需从其余9人中选择4人，有CC=378种选法；A、B、C三人中选择二人，则还需从其余9人中选择3人，有CC=252种选法；A、B、C三人都选入，则只需从余下的9人中选择2人，有CC =36种选法.由分类计数原理共有378+252+36=666种不同选法.（间接法）先从12人中任选5人，再减去A、B、C三人都不入选的情况，共有C-C=666种选法.（5）（直接法）可分三类：A、B、C三人均不入选，有C种选法；A、B、C三人中选一人，有CC种选法；A、B、C三人中选二人，有CC种选法.由分类计数原理，共有C+ CC+ CC=756种选法.（间接法）：先从12人中任选5人，再减去A、B、C三人均入选的情况，即C-C=756种选法.例3六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.解：（1）可分三步完成，先分给甲，有C种分法，再分给乙，有C种分法，余下两本给丙.由分步计数原理，共有CCC=90种不同分法.（2）由于问题（1）也可分以下两步完成：第一步：把6本书平均分成三份，设有x种分法；第二步：把分好份的书，再分给甲、乙、丙三人，有A种分法.根据分步计数原理，得xA= CCC,x=15.因此把六本书分成三份，每份两本，共有15种分法.（3）分三步完成，由乘法原理可得不同分法种数为CCC=60.（4）分两步完成，第一步先分份，由（3）知共有60种不同分法.第二步将分好份的书，再分给人，有A种分法.由乘法原理共有60A=360种不同分法.（5）可分为三种情况：一是题（1）；一是题（4）；还有一种是甲、乙、丙三人，两人各拿一本，一人拿四本，有CA=90种，所以共有90+360+90=540种不同分法.例4某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解：（1）只需从其他18人中选3人即可，共有C=816种；（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C=8568种；（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CC+C=6936种；（4）解法一：（直接法）至少一名内科一名外科的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.所以共有CC+CC+CC+CC=14656种.解法二：（排除法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C-（C+C）=14656种.例5某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？若只选3名只会印刷的工人，则还需从2名“全能”的工人中选1人印刷，4名排版工人只能从余下的6人中选取，有CCC种选法.若从4名只会印刷的工人中选2人，则2名“全能”的工人需都去印刷，4名排版工人只能全从5名只会排版的工人中选取，有CCC种选法.所以共有C+CCC+C CC =185种不同的选法.