2019-2020年高考数学 第八节 对数函数教材.doc

2019-2020年高考数学 第八节 对数函数教材教 材 面 面 观1对数的概念及运算性质(1)对数的概念如果abN(a0，且a1)，那么b叫做_的对数，记作_以10为底的对数叫做_，记作_以无理数e2.71828为底的对数叫做_，记作_(2)对数的性质(a0，a1)_没有对数；loga1_；logaa_.(3)积、商、幂、方根的对数(M、N都是正数，a0，a1，n0)loga(MN)_；loga_；logaMn_.(4)对数的换底公式及对数恒等式alogaN_(对数恒等式)；logaan_；_(换底公式)；_；logaM_.答案以a为底NlogaNb(a0，a1)常用对数lgN自然对数lnN零与负数01logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMNnlogaNlogablogamMn2对数函数的图象与性质(1)对数函数ylogax(a0且a1)与_互为反函数，它们的图象关于直线yx对称(2)定义ylogax(a0，a1的常数)叫做对数函数定义域_值域_图象性质x0. 图象经过_点a1，当_时，y0；当_时，y0.0a1，当x1时，y0；当0x1时，y0. a1，在(0，)上ylogax为_，0a1，在(0，)上ylogax为_为_(填入奇偶性)答案指数函数yax(a0且a1)(0，)(，)(1,0)x10x1增函数减函数非奇非偶函数3对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程解对数方程的基本思路是转化为代数方程，常见的可解类型有：(1)形如logaf(x)logag(x)(a0且a1)的方程，化成_求解；(2)形如f(logax)0的方程，用_解；(3)形如logf(x)g(x)c的方程，化成指数式_求解答案f(x)g(x)换元法f(x)cg(x)考 点 串 串 讲1对数的概念公式及运算性质(1)对数的定义若abN(a0，且a1)，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb.其中a叫做底数，N是这个对数的真数(2)对数式、指数式与根式我们说指数式abN，根式a和对数式logaNb(N0，a0，且a1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.由上表可以看出：开方运算与对数运算都是乘方运算的逆运算，且指数式abN对数式logaNb(a0且a1)(3)常用对数与自然对数对数logaN(a0，且a1)，当底数a10时，叫做常用对数，记作lgN；当底数ae时，叫做自然对数，记作lnN，在这两种对数中我们省去了底数不写，但要明确它们各自的底数如lg10log10101，ln2loge2，lg2log102.(4)对数的运算性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b1)alogaNN；logaaNN；logaN(换底公式)；logab；logambnlogab.对数的运算法则loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM；logalogaM.(5)活用两个特殊的对数值loga10；logaa1(a0且a1)这两个特殊的对数值，地位非常重要，常常在对数式的化简求值的运算以及在有关对数函数问题的研究中，给我们带来方便，应用非常广泛(6)利用等价转换解决指数、对数问题注重逆向思维，提高思维的灵活性如在进行指数式与对数式的互化时，既要知道指数式可化为对数式，即abNlogaNb，又要知道对数式可以化为指数式，即logaNbabN，亦即abNlogaNb.又如在利用对数的运算法则时，即要晓得loga(MN)logaMlogaN，又要会用logaMlogaNloga(MN)等等(7)注意lg2lg51的应用2对数函数的定义、图象与性质(1)定义一般地，函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，对数函数的定义域是R.对数函数ylogax(a0且a1)是指数函数yax(a0且a1)的反函数，即ylogax(a0且a1)与yax(a0且a1)是一对互反函数因此，对于对数函数的概念、图象与性质的理解和认识，应牢固树立在此基础上注意对数函数的结构特点，形如ylogax(a0且a1)这样的函数才是对数函数即在函数式中，对数的底数是大于0且不等于1的常数，而真数x为自变量，与此结构不同的就不是对数函数如ylogx，ylgx，ylnx，这些函数都是对数函数而像ylog2(ax)，ylog2(x1)，这些就不是对数函数因为ylog2(ax)的真数是一个常数a与x的积，ylog2(x1)是x1，不是x.像ylog(2a1)x也不一定是对数函数，只有当底数2a10且2a11，即当a且a1时，它才是对数函数因为对数函数ylogax(a0且a1)是指数函数yax(a0且a1)的反函数，而指数函数中底数a不能为负数、0和1，必须是大于0且不等于1的数时，指数函数才是单调函数，才具有反函数，所以对数函数的底数的限定和指数函数一样，都是a0且a1.(2)图象与性质一般地，对数函数ylogax(a1且a1)在底数a1和0a1两种情况下的图象和性质如下表所示：说明从图象上还可以看出：1若a1，则当x时，y；当x0时，y；当x1时，y0；当x1时y0；当0x1时，y0.2若0a1，则当x时y；当x0时y；当x1时，y0；当x1时，y0；当0x1时，y0.对数函数的图象都在y轴的右侧，而且当a1时，随着底数a值的增大函数ylogax的图象从左到右越来越平坦，而当0a1时，随着底数a值的增大，图象是越来越陡峭，如图所示(3)对数函数ylogax与ylogx的图象关于x轴对称(4)对数函数ylogax与指数函数yax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.典 例 对 对 碰题型一 对数的运算例1求下列各式的值(1)log()；(2)(log32log92)(log43log83)解析(1)原式log(22)log4log()44.(2)原式()()()().变式迁移1求下列各式的值(1)(1log63)2log62log618log64；(2)(lg5)2lg50lg2.解析(1)原式12log63(log63)2log6log6(63)log6412log63(log63)2(1log63)(1log63)log6412log63(log63)21(log63)2log641.(2)原式(lg5)2lg(105)lg(lg5)2(1lg5)(1lg5)(lg5)21(lg5)21.题型二 与对数函数有关的定义域问题例2函数f(x)的定义域为()A(1,2)(2,3)B(，1)(3，)C(1,3) D1,3解析由x(1,2)(2,3)故函数f(x)的定义域为(1,2)(2,3)答案A变式迁移2求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解析(1)要使函数有意义，必须且只须即3x2或2x1.因此函数的定义域为(3，2)(2,1(2)要使函数有意义，必须且只须即0x且x.因此函数的定义域是(0，)(，.题型三 对数函数的单调性例3若函数f(x)loga(2x2x)(a0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为()A(，) B(，)C(0，) D(，)解析令u2x2x2(x)2，当x(0，)时，u(0,1)由f(x)0知0a1.又由u0知，x0或x.u2x2x在(，)递减，此时ylogau递增，而(，)为原函数的递增区间答案D变式迁移3求f(x)log(32xx2)的单调区间解析函数f(x)log(32xx2)的定义域为x|3x1令32xx2，x(3,1)则ylog.因为ylog在定义域内是减函数，当x(3，1时，(x)(x1)24是增函数，所以f(x)在(3，1上是减函数同理，f(x)在(1,1)上是增函数.题型四 利用对数函数的单调性比较大小例4比较下列各组数的大小(1)log32与log23；(2)log1.10.7与log1.20.7.解析(1)log32log331，log23log221.log32log23.(2)两个对数的真数相同，可先比较log0.71.1与log0.71.2的大小00.71,1.11.2，由对数函数的单调性，得0log0.71.1log0.71.2.，即log1.10.7log1.20.7.点评对于第(2)小题，也可以利用对数函数的图象当底数大于1时，底数越大，在直线x1左侧图象越靠近x轴而得.变式迁移4比较log3与log5的大小解析log3log310，log5log510，log3log5.题型五 含参数的对数问题例5对于函数f(x)log(x22ax3)(1)若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是_(2)若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_(3)若函数在1，)上有意义，则实数a的取值范围是_(4)若函数的值域为(，1，则实数a的所有取值是_(5)若函数在(，1上是增函数，则实数a的取值范围是_解析设ug(x)x22ax3(xa)23a2.(1)u0，对xR恒成立，umin3a20.故答案为(，)(2)logu的值域为Rug(x)能取遍(0，)的一切值，因此umin3a20，故答案为(，)(3)函数f(x)在1，)上有意义ug(x)0对x1，)恒成立，因此应按g(x)的对称轴xa分类，则得：或解这两个不等式组得a(2，)(4)函数f(x)的值域为(，1，g(x)的值域是2，)，因此要求g(x)能取遍2，)的一切值(而且不能多取)，由于g(x)是连续函数，所以命题等价于g(x)min3a22，故a1.(5)函数在(，1上是增函数g(x)在(，1上是减函数，且g(x)0对x(，1恒成立，故答案为1,2)答案(1)(，)(2)(，)(3)(2，)(4)1,1(5)1,2)变式迁移5已知函数f(x)lg(ax22x1)(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围解析(1)若f(x)的值域为R，所以要求uax22x1的值域包括(0，)当a0时，这不可能；当a0时，u2x1R成立；当a0时，uax22x1要包括(0，)，须0a1.综上所述知0a1.(2)要使f(x)的定义域为R，只要使uax22x1的值域为正值，a1.所以当a1时，f(x)的定义域为R.题型六 对数函数性质的综合应用例6已知函数f(x)loga的定义域为，)，值域为(logaa(1)，logaa(1)(1)求证：3.(2)若函数f(x)为，)上的减函数，求a的取值范围解析(1)证明：由0，解得x3或x3.又a(1)0且a0，则1.又已知函数的定义域为，)，3.(2)设函数g(x)1，在其定义域上为增函数，又f(x)在，)上为减函数，0a1.又f(x)的定义域，)，值域为(logaa(1)，logaa(1)，则logalogaa(1)，logalogaa(1)即、是方程logalogaa(x1)的两相异实根且3.由上述方程可得a(x1)，整理得ax2(2a1)x33a0.依题意0a.又0a1，0a为所求.变式迁移6已知函数f(x)loga(a0，b0，a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性解析(1)令0，解得f(x)的定义域为(，b)(b，)(2)因f(x)logaloga()1logaf(x)，故f(x)是奇函数(3)令u(x)，则函数u(x)1在(，b)和(b，)上是减函数，所以当0a1时，f(x)在(，b)和(b，)上是增函数；当a1时，f(x)在(，b)和(b，)上是减函数【教师备课资源】题型七 指数与对数的互化例7已知x、y、z为正数，且3x4y6z，(1)求使2xpy的p的值；(2)求与(1)中所求的p的差最小的整数；(3)求证：；(4)比较3x,4y,6z的大小解析(1)设3x4y6zk(显然k1)，则xlog3k，ylog4k，zlog6k.由2xpy得2log3kplog4kp，log3k0，p2log34.(2)p2log34log316，2p3.p2log3，3plog3.，p23p，故与p的差最小的整数是3.(3)证明：logk6logk3logk2logk4.(4)k1，lgk0.3x4y(lg64lg81)0，4y6z(lg36lg64)0，3x4y6z.变式迁移7已知log23a,3b7，求：log32的表达式解析由3b7log37b，得：log32log.题型八 与对数函数图象有关的问题例8已知是方程xlgx3的根，是方程x10x3的根，则_.解析在同一坐标系中作出ylgx、y10x与y3x的图象，如图所示，则可观察出ylgx与y3x的图象的交点为(，)，y10x与y3x的图象的交点为(，)，3，即3.答案3变式迁移8函数ye|lnx|x1|的图象大致是()答案D解析先化简函数式当x1时，yelnxx1.由此可排除A、C两图象，当0x1时，yelnxx1x1，由0x1知1，1x0，排除B，故选D. 方 法 路 路 通1对数函数与指数函数互为反函数，要注意它们图象、性质之间的区别和联系2比较指数函数、对数函数两种类型的数值间的大小关系是一种最基本的题型，要会用同底法和介值法来比较3要充分熟悉指数函数与对数函数的图象和性质，能熟练地运用图象和性质帮助分析和解决有关指数函数和对数函数的问题4掌握指数与对数的运算性质和公式，能够熟练运用这些性质、公式，尤其是换底公式与对数恒等式解题5指数函数、对数函数的复合函数的性质，指数函数、对数函数常常与二次函数复合，题型有求复合函数的单调区间、复合函数的最值等6熟练掌握指数式与对数式的互化是解决问题的一个有效途径指数式与对数式的互化依据是对数的定义，可以把abN写成logaNb，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题开辟了广阔的前景和提供了更多的解题途径7关于对数函数，其函数值的符号常受到底数和真数范围的制约，要特别注意对底数的分类讨论在求函数的单调性时，不要忘记真数大于0.8画对数函数ylogax(a0，a1)的图象应抓住三个点(a,1)，(1,0)，(，1)，要熟记ylgx，ylog2x，ylogx，ylogx在同一坐标系中图象的相应位置，掌握对数函数图象的位置变化与底数大小的关系9对于函数ylogax和区间(0,1)、(1，)，若a和x在同一区间，则函数值为正；若a和x不在同一区间，则函数值为负10注意函数与其反函数的图象关于直线yx对称的应用.正 误 题 题 辨例已知yloga(2ax)在0,1上是x 的减函数，则a的取值范围是()A(0,1) B(1,2)C(0,2) D2，)错解yloga(2ax)是减函数则a0.在对数函数中底数a(0,1)或a(1，)0a1.故选A.点击本题解答时，易犯两个错误忽略真数为正这一条件其中含有字母，忘记对字母分类讨论正解解法一：由ylogau，知a0，因此u2ax单调递减，要使复合函数yloga(2ax)递减，则ylogau必递增，所以a1，排除A、C.又因为a2时，ylog2(22x)在x1时没有意义，但原函数x的取值范围是0,1，所以a2，因此排除了D.选B.解法二：先求函数定义域，2ax0，ax2，因a是对数的底，故a0，从而x，递减区间0,1必须在其定义域内，故有1，a2.若0a1，当x在0,1上增大时，2ax减小，loga(2ax)增大，故函数yloga(2ax)在0,1上单调递增，与题设矛盾，故a1.综上所述，1a2，选B.答案B知 能 层 层 练针对考点勤钻研金榜题名不畏难1log2的值为()A B.C D.答案D解析log2log22，故选D.2(xx天津卷)设alog54，b(log53)2，clog45，则()Aacb BbcaCabc Dbac答案D解析由于b(log53)2log53log53log53alog541log45c，故bac，选D.3已知ab1，函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是()答案B解析依题意，得f(x)ax(b1)xbx.由ybx得xlogby，xlogby，即函数yf(x)的反函数是ylogbx，即函数f(x)、g(x)互为反函数，因此其图象关于直线yx对称，结合各选项，易知选B.4设函数f(x)log2xlog2(1x)，则f(x)的定义域是_；f(x)的最大值是_答案(0,1)2解析由得0x1，函数f(x)的定义域是(0,1)f(x)log2xlog2(1x)log2x(1x)log2(x)2log22，因此函数f(x)的最大值是2.5设函数yf(x)且lg(lgy)lg(3x)lg(3x)(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性解析(1)lg(lgy)lg3x(3x)，lgy3x(3x)y103x(3x)且，解得0x3.f(x)103x(3x)(0x3)(2)y103x(3x)，设u3x(3x)3x29x332，则y10u.当x(0,3)时，u取最大值，u.y(1,10(3)当0x时，u32是增函数，而y10u是增函数，在上，f(x)是增函数当x3时，u是减函数，y10u是增函数在上，f(x)是减函数