2019-2020年高考数学 第四节 复数的概念及其运算教材.doc

2019-2020年高考数学 第四节 复数的概念及其运算教材考 点 串 串 讲1复数的概念(1)虚数单位i的规定：i21i可以与实数进行四则运算(2)形如abi(a，bR)的数，叫复数，全体复数所组成的集合叫复数集，一般用字母C表示(3)复数abi(a，bR)叫复数的代数形式，a与b分别叫复数的实部与虚部，复数通常用z表示，即zabi(a，bR，以后说复数abi时，都有a，bR)(4)复数的分类复数abi由复数的分类可得：实数集R是复数集C的真子集，即RC.2两复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即如果a，b，c，dR，那么abicdiac且bd，特殊的有a，bR时，abi0a0，b0.(1)运用复数相等的定义解题时，必须分别清楚两个复数的实部与虚部，然后再运用实部与虚部分别对应相等解题(2)两个复数相等的定义，是把复数问题实数化的重要手段之一，由一个复数相等的等式，可得到两个实数等式组成的方程组，从而可以用有关方程组的知识解决问题3复数的几何表示复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数zabi，其中复数zabi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时要大写关于复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应关系，应注意：(1)复数zabi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内纵坐标(或虚轴)上的单位长度是1，而不是i.由于i01i，所以用复平面内的点(0,1)表示i时，这点与原点的距离为1，等于纵轴(或虚轴)上的单位长度(2)当a0时，对任何b0，abi0bi是纯虚数，所以纵轴(或虚轴)上的点(0，b)(b0)都表示纯虚数只有当ab0时，abi是实数，即纵轴(或虚轴)上的点只有原点表示实数0.(3)共轭复数与共轭虚数对于共轭复数，当虚部b0时，实数a与实数a也是共轭复数；当虚部b0时，abi与abi也叫做共轭虚数可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情形两共轭复数在复平面上对应的点关于实轴对称4复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模(绝对值)，记作|z|或|abi|.|z|abi|r.5复数的运算(1)复数的加、减、乘、除法运算按以下法则进行设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)iz1z2i(z20)这些法则可以理解为关于i的二项式的四则运算，将1代换i2后，再合并同类项；除法要先分母实数化再计算分子(2)在进行复数运算时，熟记下列诸式的结果，有助于简化运算过程(abi)(abi)a2b2；(1i)22i；i，i；i的平方根是(i)，i的平方根是(i)，1的立方根是1，i；1的立方根是1，i；设为1的立方虚根，则有31,120，2.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，(nN)inin1in2in30，(nN)6复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数Z1Z2是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数复数的加减法与向量的加减法相类似复平面内两点间的距离公式：d|z1z2|.其中z1、z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1和Z2之间的距离7复数的性质(1)复数的大小性质；两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小如果两复数可以比较大小就隐藏着这两复数都是实数这一条件(2)共轭运算的性质：；()(z20)；z；若zRz；若z0，则z为纯虚数z0.(3)模运算的性质：|z1z2|z1|z2|，|(z20)，|z|2|2z.|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)|z1|z2|z1z2|z1|z2|.8复数集上的方程问题在复数集C中解方程，一般可以考虑以下几种方法：(1)设zxyi(x，yR)，从而转化为关于x，y的实数方程(2)复数集上的一元二次方程ax2bxc0(a0)有以下两种情况系数是实数，即a，b，cR.这时可以根据判别式b24ac判定根的实、虚性此时，如果有一个根是实根，那么另一个根也是实根；如果有一个根是虚根，那么另一个根是与其共轭的虚根系数是虚数，这时不能利用判别式说明根的实、虚性，可以利用求根公式进行求根，也可以利用韦达定理体现根与系数的关系(3)解实数方程的基本方法(如因式分解法、配方法、换元法)在解复数方程中仍可用(4)对含参数的复数方程要会分析讨论(5)含虚系数的一元二次方程，若有根，有时可先设出该根，再代入方程，利用复数相等求相关的系数或方程的根.典 例 对 对 碰题型一 复数的代数运算例1计算：(1)；(2)；(3)；(4).解析(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.点评复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆另外，在复数运算中要注意分析表达式的结构特征，有效地进行简化运算，提高解题速度例如本例中第(4)小题.变式迁移1计算：(1)；(2)()8.解析(1)原式i(2i)2i4i.(2)设，则31，i.原式(i)88(1i)862(2i)416216(i)88i.题型二 两复数相等例2已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.分析解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实解析设xabi(a，bR)，则yabi代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根据复数相等得解得或或或所求复数为或或或点评利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.变式迁移2已知复数z1i，求实数a，b使az2b(a2z)2.解析z1i，az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.因为a，b都是实数，所以由az2b(a2z)2，得两式相加，整理得a26a80.解得a12，a24，对应得b11，b22.所以，所求实数为a2，b1或a4，b2.题型三 复平面例3当实数m为何值时，复数(m28m15)(m23m28)i在复平面中的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上解析由复数abi(a，bR)在复平面内的对应点的位置知，(1)由已知7m3.(2)由已知由得m7不适合，m4适合，m4.点评复数zabi(a，bR)Z(a，b).变式迁移3在复平面内，复数(1i)2对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析原式(132i)(22i)i.0，0，对应点在第二象限，故选B.题型四 复数的模例4若复数z满足|zi|1，求：(1)|z|的最大值和最小值；(2)|z1|2|z1|2的最大值和最小值分析明确满足条件|zi|1的复数z的几何意义为：圆心为(，1)，半径为1的圆内包括边界|z|则表示圆面上一点到原点的距离如图所示.对应的复数模为最大值.对应的复数模为最小值解析(1)如图所示：|2.|z|max213，|z|min211.(2)|z1|2|z1|22|z|22.|z1|2|z1|2最大值为20，最小值为4.变式迁移4若复数|z3i|5，求|z2|的最大值和最小值解析如图，满足|z3i|5的复数z所对应的点是以C(0,3)为圆心，5为半径的圆|z2|表示复数z所对应的点Z和点A(2,0)的距离，由题设z所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分|AC|.|z2|max5，|z2|min5.题型五 复数的开方运算例5已知z286i，求z316z.分析如果由题设求86i的平方根z，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换，需要什么，再由已知条件求什么解析原式，|z|2|z2|86i|10，又由z286i(3i)2，得z(3i)，3i或3i.当3i时，原式6020i；当3i时，原式6020i；综上，原式6020i或6020i.点评(1)求一个数的平方根有两个基本方法：设代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；配方，如该例中的解法(2)对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值.变式迁移5已知z2512i，求f(z)z的值解析设zxyi(x，yR)，则z2(xyi)2x2y22xyi.由题设得x2y22xyi512i，解得或z32i.或z32i.|z|213.f(z)zzz(1)z.当z32i时，f(z)(32i)；当z32i时，f(z)(32i).题型六 复数集上的方程问题例6设关于x的方程是x2(tani)x(2i)0；(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明：对任意k(kZ)，方程无纯虚数根解析(1)设实数根是，则2(tani)(2i)0，即2tan2(1)i0.、tanR，1，且tan1.又0，1.(2)证明：若有纯虚数根i(R，0)，则(i)2(tani)(i)(2i)0，220.且tan10这不可能点评此类问题在虚实分明情况下，一般可用相等复数的概念求解.变式迁移6关于x的方程x2(2i1)x3mi0(mR)有实根，则m的取值范围是()Am BmCm Dm答案D解析设x0为方程的实根，则x(2i1)x03mi0.即(xx03m)(2x01)i0，由此得m，故选D.【教师备课资源】题型七 复数的概念例7当实数m为何值时，z(m25m6)i.(1)为实数；(2)为虚数；(3)是纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面的第二象限内分析根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解解析(1)若z为实数，则得m2.(2)若z为虚数，则m25m60，得m2，且m3且mR.(3)若z为纯虚数，则得m3.(4)若复数z对应点在第二象限，则m3，或2m3.点评本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式，若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解.变式迁移7已知mR，复数z(m22m1)i，当m为何值时：(1)zR；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数解析(1)当m22m10且m10，即m1时，z为实数；(2)当m22m10且m10.即m1且m1时，z为虚数；(3)当0且m22m10，即m0或2时，z为纯虚数.题型八 复数的性质例8已知x为实数，是否存在实数a使得复数z13x2(xa1)2i和z227(x2aax1)i满足关系z1z2？若存在，求出a的取值或取值范围；若不存在，请说明理由分析当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小，从而问题化为判断两个复数何时同时为实数，然后再根据大小关系建立关于a不等式来求取值或取值范围解析依题意必有(xa1)20，且x2aax10，同时有3x227成立，故(a1)29，解得a2，或a4，故使z1z2的实数a存在，且a2，或a4.变式迁移8给出下列命题：若z2R，则zR；若z1z2，则z1，z2R；若z1z20，则z1z2；若z1，则z21；若zz0，则z1z20.其中正确命题的序号是_答案解析i21R，但iR，错；z11i，z2i，z1z210，但z1，z2不能比较大小，错；i210错故正确命题是，.题型九 数形结合思想在复数中的体现例9虚数(x2)yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是()A，B，0)(0，C，D，0)(0，解析设k，则k为过圆(x2)2y21(y0)上的点及原点的直线斜率，如图所示，|k|，又y0，k0，故选B.答案B点评解决与复数的基本概念和性质有关的题目时，要充分利用使它们成立的充要条件，同时注意复数和实数的区别与联系数的概念扩充到复数后，实数集中的一些运算性质在复数集中不一定成立解决复数问题的关键是利用复数的有关概念和复数相等的充要条件把复数问题实数化.变式迁移9已知复数z满足zy(x2y21)i(x，yR)且z0，则点(x，y)的轨迹为()A圆 B半圆C射线 D无法确定答案B解析由z0，得z为实数，从而得y0且x2y210，故选B.方 法 路 路 通1设zabi(a，bR)利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法2两共轭复数在复平面内的对应点关于实轴对称，因此，它们的和为实数，差为0或纯虚数，积为实数3实数的共轭复数是它本身，两纯虚数的积是实数4熟练掌握并能灵活运用以下结论(1)复数相等的充要条件abicdiac且bd(a，b，c，dR)(2)复数是实数的充要条件zabiRb0(a，bR)；zRz；zRz20.(3)复数是纯虚数的充要条件zabi是纯虚数a0且b0(a，bR)z是纯虚数z0(z0)z是纯虚数z20.5要记住一些常用的结果，如i，的有关性质，如(1i)22i，31等结果可简化运算步骤，提高运算速度6在施行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当zC时不总是成立的：(1)(zm)nzmn(m、n为分数时不成立)；(2)zmznmn(z1时不成立)；(3)zz0z1z20(z1z2是虚数时不成立)；(4)|z|2z2(z为虚数时不成立)；(5)|z|aaza.(z为虚数时不成立)7对于实系数方程ax2bxc0(1)当b24ac0时，方程有两不等实根(2)当b24ac0时，方程有两相等实根(3)当b24ac0时，方程有两共轭虚根x1，x2正 误 题 题 辨例计算(i)100.错解(i)1001.点击误解过程好像很有“理”，我们看第一个等式的计算法则是依据(zm)nzmn，这一法则zR时，m，nQ时成立，而zC特别是zR后，运算律只有在指数m、n均为正整数时才成立这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法则所以对于数学中的有关定理、定义、性质等，在应用时必须注意成立的条件，否则会产生错误正解(i)100(i)99(i)(i)333(i)133(i)i.