2019-2020年高考数学一轮复习 5.5 向量的应用教案.doc

上传人:tian****1990 文档编号:2621397 上传时间:2019-11-28 格式:DOC 页数:7 大小:389KB
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2019-2020年高考数学一轮复习 5.5 向量的应用教案知识梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力.特别提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题,跨学科应用也是它的一个特点.点击双基1.若O是ABC内一点,+=0,则O是ABC的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析:以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+.又+=0,+=.=.O为AD的中点,且A、O、D共线.又E为OD的中点,O是中线AE的三等分点,且OA=AE.O是ABC的重心.答案:D2.将椭圆x2+6y22x12y13=0按向量a平移,使中心与原点重合,则a的坐标是A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1)解析:椭圆方程变形为(x1)2+6(y1)2=20.需按a=(1,1)平移,中心与原点重合.答案:C3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1)、B(1,3),若点C满足=+,其中、R,且+=1,则点C的轨迹方程为A.3x+2y11=0B.(x1)2+(y2)2=5C.2xy=0D.x+2y5=0解析:C点满足=+且+=1,A、B、C三点共线.C点的轨迹是直线AB.答案:D4.在四边形ABCD中,=0,=,则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由=0知.由=知BCAD.四边形ABCD是矩形.答案:C5.(xx年全国,理9)已知平面上直线l的方向向量e=(,),点O(0,0)和A(1,2)在l上的射影分别是和A,则=e,其中等于A.B.C.2D.2解析:如图所示,令e过原点,与e方向相反,排除A、C,验证D即可.答案:D典例剖析【例1】 已知a、b是两个非零向量,当a+tb(tR)的模取最小值时,(1)求t的值;(2)求证:b(a+tb).剖析:利用|a+tb|2=(a+tb)2进行转换,可讨论有关|a+tb|的最小值问题,若能计算得b(a+tb)=0,则证得了b(a+tb).(1)解:设a与b的夹角为,则|a+tb|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2a(tb)=|a|2+t2|b|2+2t|a|b|cos=|b|2(t+cos)2+|a|2sin2,所以当t=cos=时,|a+tb|有最小值.(2)证明:因为b(a+tb)=b(ab)=abab=0,所以b(atb).评注:用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题,向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便.思考讨论对|a+tb|的变形,有两种基本的思考方法:一是通过|a+tb|2=(a+tb)2进行向量的数量积运算;二是设a、b的坐标,通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一方法解答本题.深化拓展已知=a,=b,ab=|ab|=2,当AOB面积取最大值时,求a与b的夹角.解:因为|ab|2=4,所以a22ab+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2ab=8,SAOB=sin=|a|b|=,(当且仅当|a|=|b|=2时取等号)所以当|a|=|b|=2时,AOB的面积取最大值,这时,cos=,所以=60.【例2】 如图,四边形MNPQ是C的内接梯形,C是圆心,C在MN上,向量与的夹角为120,=2.(1)求C的方程;(2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析:需先建立直角坐标系,为了使所求方程简单,需以C为原点,MN所在直线为x轴,求C的方程时,只要求半径即可,求椭圆的方程时,只需求a、b即可.解:(1)以MN所在直线为x轴,C为原点,建立直角坐标系xOy.与的夹角为120,故QCM=60.于是QCM为正三角形,CQM=60.又=2,即|cosCQM=2,于是r=|=2.故C的方程为x2+y2=4.(2)依题意2c=4,2a=|QN|+|QM|,而|QN|=2,|QM|=2,于是a=+1,b2=a2c2=2.所求椭圆的方程为+=1.评述:平面向量在解析几何中的应用越来越广,复习时应引起重视.闯关训练夯实基础1.(xx年辽宁,6)已知点A(2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足=x2,则点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:=(2x,y),=(3x,y),=(2x)(3x)+(y)2=x2,整理得y2=x+6.P点的轨迹为抛物线.答案:D2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的时间为A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析:台风中心移动t h,城市B处在危险区,则(20t)2+402220t40cos45900.t+.B城市处在危险区的时间为1 h.答案:B3.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60,塔底俯角为45,那么这座塔的高为_.解析:如图,AD=DC=20.BD=ADtan60=20.塔高为20(1+) m.答案:20(1+) m4.有一两岸平行的河流,水速为1,小船的速度为,为使所走路程最短,小船应朝_方向行驶.解析:如下图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又v水=1,v船=,ADC=90,CAD=45.答案:与水速成135角的5.如图,ABC的BC边的中点为M,利用向量证明:AB2+AC2=2(AM2+BM2). 证明:设=m,=b,=c,则m=,mm=b2+bc+c2=AB2+AC2+ABACcosBAC=AB2+AC2+ABAC=AB2+AC2+(AB2+AC2BC2).AM2=AB2+AC2BC2.又BC2=4BM2,AB2+AC2=2(AM2+BM2).6.如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.ACW=150,BCW=120,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)解:设A、B处所受力分别为f1、f2,10 N的重力用f表示,则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点,作平行四边形CFWE,使CW为对角线,则=f1,=f2,=f,则ECW=180150=30,FCW=180120=60,FCE=90.四边形CEWF为矩形.|=|cos30=10=5,=|cos60=10=5.A处受力为5 N,B处受力为5 N.培养能力7.已知A(4,0),N(1,0),若点P满足=6|.(1)求点P的轨迹方程,并说明该轨迹是什么曲线;(2)求|的取值范围;(3)若M(1,0),求MPN在0,上的取值范围.解:(1)设P(x,y),=(x4,y),=(1x,y),=(3,0),=6|,3(x4)=6,即3x2+4y2=12.=1.P点的轨迹是以(1,0)、(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.(2)N(1,0)为椭圆的右焦点,x=4为右准线,设P(x0,y0),P到右准线的距离为d,d=4x0,=e=,|PN|=d=.2x02,1|PN|3.当|PN|=1时,P(2,0);当|PN|=3时,P(2,0).(3)令|PN|=t(1t3),则|PM|=4t,|MN|=2,cosMPN=1+.由1t3,得3t(4t)4,cosMPN1.0MPN.8.如图,已知ABC的顶点坐标依次为A(1,0),B(5,8),C(7,4),在边AB上有一点P,其横坐标为4,在AC上求一点Q,使线段PQ把ABC分成面积相等的两部分.解:设P分的比为1,则4=1=3,即=3,=.又=,=,即=2.设2=,则2=2.xQ=5,yQ=.Q(5,).探究创新9.如下图,已知OFQ的面积为S,且与的数量积等于1,(1)若S2,求向量与的夹角的取值范围;(2)设|=c(c2),S=c,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,当|取得最小值时,求此椭圆的方程.解:(1)tan=2S.又S2,1tan4.arctan4.(2)以O为原点,所在直线为x轴建立坐标系,设椭圆方程为+=1(ab0),点Q(x1,y1),则=(x1c,y1).又OFQ的面积为|y1=c,y1=.又由=1,解得x1=c+.|=(c2).设f(c)=c+,则(c)=1=.当c2时,(c)0,f(c)在2,)上递增,当c=2时,|最小,此时Q(,),由此可得a2=10,b2=6.椭圆方程为=1.思悟小结向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物,因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题,在物理和工程技术中应用也很广泛.教师下载中心教学点睛教材中安排了解三角形应用举例和实习作业,根据新教材突出应用这一显著特点,教学中应充分利用这些素材,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,渗透数学建模思想,培养学生分析、解决实际问题的能力.拓展题例【例1】 已知a=(x2,x),b=(x,x3),x4,4.(1)求f(x)=ab的表达式;(2)求f(x)的最小值,并求此时a与b的夹角.解:(1)f(x)=ab=x2x+x(x3)=x3+x23x,x4,4.(2)(x)=x2+2x3=(x+3)(x1).列表:x4(4,3)3(3,1)1(1,4)4(x)+00+f(x)极大值9极小值故当x=1时,f(x)有最小值为.此时a=(,1),b=(1,2).设为a与b的夹角,则cos=.又由0,得=.【例2】 如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)分析:先进行受力分析,列出平衡方程,然后用数学方法求解.解:设所求物体质量为m kg时,系统保持平衡,再设F1与竖直方向的夹角为1,F2与竖直方向的夹角为2,则有(其中g为重力加速度).由式和式消去2,得m28mcos1+12=0,即m=4cos12.cos20,由式知,式中m=4cos12不合题意,舍去.又4cos2130,解得cos11.经检验,当cos1=时,cos2=0,不合题意,舍去.2m6.综上,所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时,系统可保持平衡.评注:(1)m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义,本题容易忽略cos20的实际限制.
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