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2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课后导练新人教B版选修基础达标1.已知方程=1表示双曲线，则k的取值范围是()A.-1k0C.k0D.k1或k0.(k+1)(k-1)0.-1k1.答案：A2.已知双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为(0，-)，则k的值等于()A.-2B.1C.-1D.-解析：焦点(0,-)在y轴上，k0.将原方程变形得a2=k=-1.答案：C3.已知双曲线=1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A.3B.6C.9D.12解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，则|PF1|-|PF2|=6.设|PF2|=3，由35知P在右支上.|PF1|=6+3=9.答案：C4.在方程mx2-my2=n中，若mn0，则方程的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线解析：把方程mx2-my2=n写成标准方程mn0,0.方程表示焦点在y轴上的双曲线.答案：D5.已知双曲线的方程为=1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB=m,F1为另一焦点，则ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m解析：A、B在双曲线的右支上，|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a.|BF1|+|AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a.|BF1|+|AF1|=4a+m.ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.答案：B6.F1、F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上且满足PF1PF2=32，则F1PF2=_.解析：设F1PF2=,|PF1|=r1,|PF2|=r2.在F1PF2中，由余弦定理得(2c)2=r+r-2r1r2cos,cos=90.答案：907.过点(3，4)及双曲线=1的两个焦点的圆的标准方程是_.答案：x2+(y-2)2=138.已知是三角形的一个内角，且sin-cos，则方程x2sin-y2cos=1可能表示下列曲线中的_.(填上所有可能情况)焦点在x轴上的椭圆焦点在y轴上的椭圆焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线解析：由sin-cos=，得sin(-)=.sin(-)=又为三角形的内角，0.-.而sin(-)=,0-.0,cos0且sincos.方程x2sin-y2cos=1表示焦点在x轴上的双曲线.答案：9.根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线=1有共同的渐近线，且过点(-3，23)；(2)与双曲线=1有公共焦点，且过点(32，2).解：（1）设双曲线的方程为=1,由题意，得解得a2=,b2=4.所以双曲线的方程为(2)设双曲线方程为由题意易求c=25.又双曲线过点(32,2),又a2+b2=(2)2,a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为=1.10.已知定点A(3，0)和定圆C：(x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.解：设P的坐标为(x,y).圆C与圆P外切且过点A，|PC|-|PA|=4.|AC|=64,点P的轨迹是以C、A为焦点，2a=4的双曲线的右支.a=2,c=3,b2=c2-a2=5.=1(x0)为动圆圆心P的轨迹方程.综合运用11.过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为多少？解：双曲线方程为=1,c=13.于是焦点坐标为F1（-13，0）、F2（13，0）.设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于A（-13，y）(y0).y=,即|AF1|=.又|AF2|-|AF1|=2a=24,|AF2|=24+|AF1|=24+故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为12.经过双曲线x2-=1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB.(1)求AB；(2)求F2AB的周长l(其中F2是双曲线的右焦点).解：(1)F1(-2,0),F2(2,0).直线AB的方程为y=(x+2),将其代入双曲线方程，得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2).x1+x2=,x1x2=-.|AB|=(2)a=1,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2|BF2|-|BF1|=2a=2+,得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4.|AF2|+|BF2|-3=4,|AF2|+|BF2|=7,F2AB的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=10.13.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30方向上，相距4 km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km).若A地炮兵炮击P地，求炮击的方位角.解：以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)、B（-3，0）、C（-5，2）.|PB|-|PA|=4,点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是=1(x2)又|PB|=|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x-y+7=0将代入得11x2-56x-256=0,得x=8或x=-(舍).于是可得P(8,5).又kPA=tan=,=60.故点P在点A的北偏东30方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30.拓展探究14.(xx江苏高考，17)已知三点P(5，2)、F1(-6，0)、F2(6，0).(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(2)设点P、F1、F2关于直线y=x对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程.解析：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为=1(ab0),其半焦距c=6.2a=|PF1|+|PF2|=.a=3,b2=a2-c2=45-36=9.所求椭圆的标准方程为(2)点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P(2,5)、F1(0,-6)、F2(0,6).设所求双曲线的标准方程为=1(a10,b10).由题意知，半焦距c1=6,2a1=|PF1|-|PF2|=.a1=2,b=c-a=36-20=16.所求双曲线的标准方程为=1.
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