2019-2020年高中数学 6.4不等式的解法举例（第一课时） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高中数学 6.4不等式的解法举例（第一课时） 大纲人教版必修课时安排2课时从容说课本小节通过几个具体例子，进一步学习了一无二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式、简单的高次不等式的解法.本小节教学时间约需2课时.1.等与不等是对立统一的两个概念.研究相等关系，反映在教学上就是证明恒等式与解方程；研究不等关系，反映在教学上就是证明不等式与解不等式.解方程（组）与解不等式（组）有很多类似之处，也有不少不同之处.教学时，一方面应指出二者类似之处，以便学生从二者的联系上建立有关解不等式的类似于解方程的观念；但更应指出二者不同之处，以便学生从二者的区别上更好地掌握解不等式的方法.2.解其他各种类型的不等式，关键要善于根据有关性质或定理，把它等价变形为一次、二次不等式（组）.等价变形过程大体是这样的：如果不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；如果代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；如果有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；如果整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一次、二次不等式（组）.在教学中特别要强调指出，每一步的变形，都应是不等式的等价变形.在转化过程中，对不等式常施行的必要的变形，例如，不等式两边同乘以一个数或式子，不等式两边同时乘方、开方、取对数等变形，都可能破坏同解性.因此，要特别注意不等式的同解性，注意保持字母的允许值范围不发生变化.在解不等式或不等式组时，应熟练掌握集合的交、并运算，适时地进行不等式与不等式组的转换，并注意恰当地利用数形结合等手段辅助解题.3.一元二次不等式，简单的含绝对值不等式，简单的分式不等式的解法，学生在高一时已经学过，在这里则应要求达到正确、熟练的程度.教学时，可先让学生做课本例1后练习的第1题，或补充一些练习题，以便达到复习、巩固的目的.课本中例1是一个含绝对值不等式.教学时，应先复习解不等式组的思路和含绝对值不等式|x|a(a0)的解法.然后指出解含绝对值不等式的关键是要把它化为不含绝对值的不等式.在具体求解时，应让学生注意：（1）先用x2-5x+5替换|x|0)的解集中的x，这时，原不等式转化为-1x2-5x+51，而-1x2-5x+50(0)时，如果f(x)可以表示成几个代数式的商或积，那么根据实数运算的符号法则，可以把它等价转化成两个或更多个不等式组（由各因式的符号所有可能的组合决定）.于是原不等式的解集就是各不等式组的解集的并集.解简单的高次不等式的思路也是如此.教学时，应向学生说明：（1）把不等式等价转化为不等式组的理由.遇到分式不等式时，应先把不等式化成画这是分式，一边是0的形式，再变形为不等式组（例如习题6.4的第3题的第（2）小题）.（2）什么时候取并集，什么时候取交集，以及什么时候为什么要取交集、为什么要取并集等关键问题.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，计算较繁，且容易出错，一定要让学生细心.另外，在取交集、并集时，可以利用数轴表示，这样可避免出错.（3）对于分式不等式，不能用在不等式的两边同乘以各分式的公分母，化成整式不等式的方法来解不等式.例如0不能变形为x2-3x+20x2+3x-10且x1；(2x2-3x+3)(x-2)0x2.解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论.分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件）、根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值）、按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，一般都应做到不重复不遗漏.解不等式的过程中，经常要去分母、去根号、去绝对值、去指数或对数符号，往往忽略限制条件和变量取值范围的改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集、并集很容易失误.应熟练掌握各类不等式的特点，同解变形与等价转换的特殊性，认真归纳出各类不等式的常规解法和思路，掌握逻辑联结词“或”“且”的运算，这都是提高解不等式能力的重要环节.解不等式往往有“通法”也有“巧法”，切不可偏爱“巧法”而忽视“通法”，否则将本末倒置.总之，解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等.因此，解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一.高考中的很多问题都要涉及到“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的相关知识，应用不等式知识解题的关键是建立不等关系，其途径主要有：利用几何意义；利用判别式；利用变量的有界性；利用函数的单调性；利用均值定理.课 题6.4.1 不等式的解法举例(一)教学目标（一）教学知识点1.一元二次不等式的解法.2.形如|ax2+bx+c|m(m0)的不等式的解法.(二)能力训练要求1.复习巩固一元二次不等式(组)的解法.2.熟练掌握解形如|ax2+bx+c|m(m0)的不等式的解法.(三)德育渗透目标1.使学生了解化归(或转化)的数学思想.2.强化学生注意用集合的思想、观点、方法去理解和解决不等式的有关问题,进一步培养学生的辩证唯物主义思想.教学重点在强化一元一次不等式、一元二次不等式的基础上,掌握解含绝对值不等式的关键是要把它转化为不含绝对值的不等式.具体化法为:若|x|a(a0),则xa或x-a;若|x|0),则-ax0(1)若a0时,则其解集为x|x-.(2)若a0时,则其解集为x|x0,其解集为R.b0,其解集为.2.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)(1)若判别式=b2-4ac0,设方程ax2+bx+c=0的二根为x1,x2(x10时,其解集为x|xx2.a0时,其解集为x|x1x0时,其解集为x|x-,xRa0时,其解集为.(3)若0时,其解集为R.a0时,其解集为.类似地,可以讨论ax2+bx+c0(a0)的解集.第二张：记作6.4.1 B不等式|x|a(a0)的解集1.|x|0)的解集为:x|-axa(a0)的解集为:x|xa或xa或|x|0)的不等式,已经掌握了这几类不等式(组)的基本解法,从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.讲授新课(一)不等式的有关概念1.同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式.2.同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形.师过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解.由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形.(打出幻灯片6.4.1 A,教师指导学生阅读,共同回顾一元一次不等式,一元二次不等式的基本解法,然后进行如下练习)(二)解下列不等式(1)3x-2ax+5(学生自练)(2) x2-2x-30(教师指导下练)(1)生原不等式可化为:(3-a)x71当3-a0时,即a3,有x.2当3-a3,有x.3当3-a=0时,即a=3,有x.师(2)分析:同学们,初中学习二次函数时,我们曾解决过这样的问题:函数y=x2-2x-3(如右图).当x为何值时,y0?当x为何值时,y0?当x为何值时,y=0?当时我们是通过图象观察的,作出函数图象.找到其与x轴交点(-1,0)及(3,0),得到-1x3时y0;x3时y0;x=-1或x=3时y=0.这个问题,实际上就是解方程x2-2x-3=0和不等式:x2-2x-30和x2-2x-30或ax2+bx+c0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关,具体分析见幻灯片6.4.1 A.(学生在教师指导下,结合幻灯片6.4.1 A,写出不等式x2-2x-30的解过程)生不等式x2-2x-30=(-2)2-41(-3)=160解方程x2-2x-3=0得:x1=-1,x2=3不等式x2-2x-30的解集为:x|x3.师生共析一元一次和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要给予足够的重视.对含有字母系数的不等式,要注意字母的取值情况对运算的影响,并具体分类讨论,本例(1)中按字母对运算的影响进行分类讨论.对于一元二次不等式,先由判别式确定不等式对应方程的根的情况,再结合图象或公式表得出不等式的解集.(三)形如|ax2+bx+c|m(m0)的不等式的解法.(打出幻灯片6.4.1 B,通过阅读,在教师分析指导下,使学生掌握不等式|x|0)的解集为:x|-axa(a0)的解集为:x|xa,并理解它们的几何表示)我们看下面的例子:例1解不等式|1-3x|7.分析:解决此题的关键是去掉绝对值符号,利用幻灯片6.4.1 B的知识,请同学们完成此题的解答过程.解:学生甲:由原不等式可得:1-3x7或1-3x6或-3x-8,得:x.所以,原不等式的解集为:x|x.学生乙:由原不等式可得:|3x-1|7即3x-17,或3x-18,或3x,或x-2.故原不等式的解集为:x|x.师生共析显然,学生乙的解法,出错的可能性就相对小一些.但要注意:(1)解不等式时,最后结果必须写成集合或区间的形式;(2)此题的结果也可写成区间的形式:(-,-2)(,+).例2解不等式|x2-5x+5|1.分析:不等式|x|0)的解集是x|-axa,这时,我们用x2-5x+5替换|x|0)的解集中的x,原不等式转化为-1x2-5x+51.即解这个不等式组,其解集就是原不等式的解集.解:(学生在教师指导下完成解题过程)原不等式可转化为-1x2-5x+51，即 解不等式,得解集为x|1x4.解不等式,得解集为x|x3.它们的解集在数轴上表示如下:原不等式的解集是不等式和不等式的解集的交集,即x|1x4x|x3=x|1x2,或3x4.故原不等式的解集是:x|1x2,或3x3(3)30+7x-2x20(5)6x2+x-20答案:(1)由|3x-4|194-193x4+19-5x,原不等式解集为x|-5x.(2) 原不等式即|x+7|6x-1,原不等式的解集为x|x-1.(3)原不等式即2x2-7x-300.方程2x2-7x-30=0的两根为x1=-,x2=6.原不等式的解集为x|x6.(4)=25-4816(2)|x2-3x+1|16x264x|-4x4x|x8.原不等式的解集为:x|x-8或-4x8.(2)原不等式-5x2-3x+15故原不等式的解集为x|-1x4.课时小结一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视.尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定);三是结合图象(二次函数图象)（或直接根据幻灯片6.4.1 A)写出不等式的解集.形如|ax2+bx+c|m(m0)的不等式的解法,关键是去掉绝对值符号使其转化为一元二次不等式(组),借助数轴的直观作用,达到解题目的.课后作业(一)课本P19习题6.4 1.(1)、 (2)(二)1.预习内容：P18分式不等式的解法.2.预习提纲:(理解)(1)0f(x)g(x)0(2)0f(x)g(x)0(3)0(4)0板书设计6.4.1 不等式的解法举例(一)一、不等式的有关概念1.同解不等式.2.同解变形.二、一元一次和一元二次不等式的解法举例例题例题图象分析三、形如|ax2+bx+c|m(m0)的不等式的解法举例例题课堂练习课后小结课后作业