2019-2020年高二（下）期中数学试卷（文科） 含解析.doc

2019-2020年高二（下）期中数学试卷（文科） 含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1 （xx高邮市校级模拟）若全集U=R，集合M=x|x2x0，则集合UM=（0，1）考点：补集及其运算专题：计算题分析：把集合M化简，由实数集中不在集合M中的元素构成的集合就是M的补集解答：解：M=x|x2x0=x|x0或x1，又全集U=R，所以，UM=x|0x1故答案为（0，1）点评：本题考查了补集及其运算，注意借助于数轴解答，是基础题2 （xx春扬州校级期中）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为考点：函数的值专题：计算题；函数的性质及应用分析：设幂函数f（x）=xa，由f（x）过点（2，），知，由此能求出f（4）解答：解：设幂函数f（x）=xa，f（x）过点（2，），f（4）=x4=（x2）2=，故答案为：点评：本题考查函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用3 （xx春扬州校级期中）若函数f（x+1）=x22x+1，则函数f（x）的解析式为f（x）=（x2）2考点：函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：将f（x+1）=x22x+1变形，令x=x+1替换即可解答：解：f（x+1）=x22x+1=x2+2x+14（x+1）+4=（x+1）24（x+1）+4，f（x）=x24x+4=（x2）2点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查转化思想，是一道基础题4 （xx淇县校级一模）已知函数若f（f（0）=4a，则实数a=2考点：函数与方程的综合运用专题：计算题分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，f（2）=4+2a=4a，a=2故答案为2点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性5 （xx春海安县校级期末）函数的值域为（0，1）考点：函数的值域分析：将函数变形为，因为2x0，用观察分析法求值域即可解答：解：，2x0，0y1故答案为：（0，1）点评：本题考查函数的值域问题，属基本题型、基本方法的考查6 （xx自贡一模）由下列各式：，归纳第n个式子应是考点：归纳推理专题：探究型分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中：，观察分析不等式两边的项数及右边数的大小，我们归纳分析得，左边累加连续2n1个正整数倒数的集大于，由此易得到第n个式子解答：解：，=第n个式子应是：故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）7 （xx春扬州校级期中）设z=，则z的共轭复数是13i考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的分母实数化后，求解共轭复数即可解答：解：z=1+3iz=，则z的共轭复数是13i故答案为：13i点评：本题考查复数的除法运算法则的应用，共轭复数的求法，基本知识的考查8 （xx春扬州校级期中）函数y=2x+log2x6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为4考点：函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：函数f（x）=log2x+2x6，f（x）=2+0，函数f（x）在（0，+）单调递增，f（）=40，f（3）=log230，f（）f（3）0，且函数f（x）=log2x+2x6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x6的零点所在的区间为（，3），解得：3k5，k=4，故答案为：4点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反9 （xx春扬州校级期中）定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，当3x1时，f（x）=（x+2）2；当1x3时，f（x）=x则f（1）+f（2）+f（3）+f（xx）=337考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：由已知得f（3）=1，f（2）=0，f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，再由定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，能求出f（1）+f（2）+f（3）+f（xx）的值解答：解：由已知得f（3）=1，f（2）=0，f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，f（1）+f（2）+f（3）+f（xx）=335（1+01+0+1+2）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=335+1+21+0=337故答案为：337点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用10 （xx春扬州校级期中）已知a=log510，b=log36，c=log714，则a，b，c按照由小到大的顺序排列为cab考点：对数值大小的比较专题：函数的性质及应用分析：利用对数的运算性质把三个数转化为1加一个对数式的形式，然后由换底公式可比较大解答：解：a=log510=1+log52，b=log36=1+log32，c=log714=1+log72，因为log32log52log72，所以cab故答案为：cab点评：本题考查了对数值的大小比较，考查了对数式的运算性质，是基础题11 （xx春淮安校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x24x（x0），则不等式f（x）x的解集是（5，0）（5，+）考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：设x0则x0，根据题意和奇函数的性质求出x0时函数的解析式，再用分段函数的形式表示出来，对x进行分类讨论列出不等式组，求出不等式的解集解答：解：设x0，则x0，f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x24x（x0），f（x）=f（x）=x24x，则f（x）=，f（x）x，或，解得5x0或x5，不等式的解集是（5，0）（5，+），故答案为：（5，0）（5，+）点评：本题考查函数的奇偶性的应用：求函数的解析式，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想，属于中档题12 （xx春扬州校级期中）下列命题正确的序号是命题“若ab，则2a2b”的否命题是真命题；若命题p：“0”，则；p：“0”；若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=考点：命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数的性质判断即可；写出p的否命题即可；根据充分必要条件的定义判断即可；通过讨论a=0，a0判断即可解答：解：命题“若ab，则2a2b”的否命题是：“若ab，则2a2b”是真命题，故正确；若命题p：“0”，则；p：“0”，故错误；若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，故正确；方程ax2+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故错误；故答案为：点评：本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，考查方程思想，本题综合性强，属于中档题13 （xx春扬州校级期中）已知函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4R，且a00）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f（x）的所有零点中最大值与最小值之差为|d|考点：函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用分析：先设出函数f（x）的4个零点，求出f（x）的导数，得到f（x）的零点，从而求出答案解答：解：设函数f（x）的四个零点构成公差为d的等差数列为：t+3，t+1，t1，t3，公差d=2，f（x）=（xt3）（xt1）（xt+1）（xt+3），用平方差公式：f（x）=，令g（x）=（xt）21，h（x）=（xt）29，f（x）=g（x）h（x）+g（x）h（x），整理得：f（x）=4（xt）（x22tx+t25），令f（x）=0，解得：x=t，t，t+，零点的最大值与最小值的差是；2=|d|，故答案为：|d|点评：本题考查了函数零点问题，等差数列，导数的应用，是一道中档题14 （xx春扬州校级期中）已知（x）=ax3+x2ax（a0），若存在实数a（，使得函数（x）=（x）+（x），x在x=1处取得最小值，则实数b的最大值为考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：由（x）=ax3+（3a+1）x2+（2a）xa，知（x）（1）在区间上恒成立，令（x）=ax2+（2a+1）x+（13a），由a（，知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得（b）0，由此能求出b的最大值解答：解：由题意，（x）=ax3+x2ax的导数（x）=3ax2+2xa，（x）=ax3+（3a+1）x2+（2a）xa，据题知，（x）（1）在区间上恒成立，即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（13a）0当x=1时，不等式成立；当1xb时，不等式可化为ax2+（2a+1）x+（13a）0令（x）=ax2+（2a+1）x+（13a），由a（，知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得又（）=a0，故不等式成立的充要条件是（b）0，整理得：在a（，上有解，2，解得1bb的最大值为故答案为：点评：本题考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，计90分）15 （xx春扬州校级期中）记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（a1）的定义域为B（1）求A、B； （2）若BA，求实数a的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法专题：集合分析：（1）要使函数f（x）=有意义，则（x+1）（x1）0，解出即可要使函数g（x）=lg（a1）有意义，则（xa1）（2ax）0，解出即可（2）由BA，可得2a1或a+11，解出即可解答：解：（1）由题意得：（x+1）（x1）0，解得x1或x1，即A=（，1点评：本题考查了根式函数与对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （xx兴化市校级模拟）设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x9xa对一切正实数x均成立（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围考点：命题的真假判断与应用专题：综合题分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围（2）若命题q为真命题时，则3x9xa对一切正实数x均成立由（，0），知q是真命题时，a0再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a的取值范围解答：解：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，若a=0，显然不成立；若a0，解得a2故如果p是真命题时，实数a的取值范围是（2，+）（2）若命题q为真命题时，则3x9xa对一切正实数x均成立x03x13x9x（，0）所以如果q是真命题时，a0又p或q为真命题，命题p且q为假命题所以命题p与q一真一假或解得0a2综上所述，实数a的取值范围是点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用17 （xx春扬州校级期中）如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中C=D=90，CE=DE=1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y（1）求x，y的关系式； （2）求水管PQ的长的最小值考点：解三角形的实际应用分析：（1）延长BD、CE交于A，利用SADE=SBDE=SBCE=，SAPQ=可建立x，y的关系式； （2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式求出水管PQ的长的最小值解答：解：（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2 则SADE=SBDE=SBCE=SAPQ=，x，y的关系式为：（2）PQ2=AP2+AQ22APAQcos30=当，即，水管PQ的长的最小值为点评：本题主要考查变量关系，考查余弦定理及基本不等式的运用，有一定的综合性18（16分）（xx春扬州校级期中）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意的实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立（1）证明：f（x）=x2不属于集合M；（2）设f（x）M，且T=2已知当1x2时，f（x）=x+lnx，求当3x2时，f（x）的解析式考点：抽象函数及其应用专题：函数的性质及应用分析：（1）利用反证法，假设f（x）M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，推出T无解，即假设不成立，肯定结论（2）将3x2转化为1x+42，利用当1x2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式解答：（1）证明：假设f（x）M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，即（1T）x2+2Tx+T2=0对任意的x恒成立T假设错误，所以f（x）=x2不属于集合M（2）3x2，1x+42，f（x+4）=x+4+ln（x+4），存在非零常数T，使得对任意xR，有f（x+T）=Tf（x）成立，令T=2，f（x+4）=f=2f（x+2）=4f（x），f（x）=，当3x2时，f（x）的解析式是f（x）=点评：本题考查了抽象函数及其应用，反证法，函数解析式的求解及常用方法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等属于中档题19（xx秋苏州期末）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设函数，其中a0若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围考点：函数与方程的综合运用；偶函数专题：计算题分析：（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）x=在（，+）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围解答：解：（1）函数f（x）=log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数f（x）=log2（4x+1）kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）2xkx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=1（2）a0函数的定义域为（，+）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，方程log2（4x+1）x=在（，+）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0a1时，记，其图象的对称轴函数在（0，+）上递减，而h（0）=1方程（*）在无解当a1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立此时a的范围为a1综上所述，所求a的取值范围为a1点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键20（16分）（xx咸阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴（1）确定a与b的关系；（2）若a0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1x2），证明：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t1），即证（t1），令（t1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnxkx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=xx1lnx+x1lnx1x1，及令m（x）=xx2lnx+x2lnx2x2，通过求导得到其单调性即可证明解答：解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴得：g（1）=1+2a+b=0，b=2a1（2）由（1）得=函数g（x）的定义域为（0，+），当a=0时，由g（x）0得0x1，由g（x）0得x1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减；当a0时，令g（x）=0得x=1或，若，即时，由g（x）0得x1或，由g（x）0得，即函数g（x）在，（1，+）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g（x）0得或0x1，由g（x）0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+）上恒有g（x）0，即函数g（x）在（0，+）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+）上单调递增（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2x10，即证，令（t1），即证（t1），令（t1），则0，h（t）在（1，+）上单调递增，h（t）h（1）=0，即（t1）综合得（t1），即证法二：依题意得，令h（x）=lnxkx，则，由h（x）=0得，当时，h（x）0，当时，h（x）0，h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），即证法三：令，则，当xx1时，h（x）0，函数h（x）在（x1，+）单调递减，当x2x1时，即；同理，令，可证得证法四：依题意得，令h（x）=xx1lnx+x1lnx1x1，则，当xx1时，h（x）0，函数h（x）在（x1，+）单调递增，当x2x1时，h（x2）h（x1）=0，即x1lnx2x1lnx1x2x1令m（x）=xx2lnx+x2lnx2x2，则，当xx2时，m（x）0，函数m（x）在（0，x2）单调递减，当x1x2时，m（x1）h（x2）=0，即x2x1x2lnx2x2lnx1；所以命题得证点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键