2019-2020年高中数学 2.3.1 等差数列的前n项和(一)优秀教案 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学 2.3.1 等差数列的前n项和(一)优秀教案 新人教A版必修5一、备用习题1.求集合M=m|m=7n,nN*,且m100的元素个数，并求这些元素的和.分析：求解的关键在于要理解这个集合的元素特征，抓好集合中的数全是由7的倍数组成，再由本节课学过的知识运用加以解决.解：由7n100得n=.所以，正整数n共有14个，即M中共有14个元素,即7，14，21，98是一个以a1=7为首项，公差为7且a 14=98的等差数列.所以Sn= =735.答：这些元素的和为735.2.已知两个等差数列：2，5，8，197和2，7，12，197.求这两个数列中相同项之和. 分析：两个等差数列的相同项仍组成等差数列，找出其首项、公差、项数，即可求出它们的和.解：其相同项是2，17，32，197，组成以2为首项，公差为15，末项为197的等差数列.设此数列共有n项，则197=2(n-1)15，得n=14，那么相同项的和.点评：如果两个等差数列的公差分别为d1和d2，且d1和d2的最大公约数为a，则两个等差数列中公共项所组成的等差数列的公差d=(d1d2)a，即d为d1和d2的最小公倍数.3.用分期付款的方式购置房子一套，价格为115万元.购置当天先付15万元，以后每月的这一天都支付5万元，并加付欠款利息，月利息率1%.若交付15万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部房款付清后，购买这套房子实际花了多少钱？分析：购买时付了15万元，欠款100万元.每月付5万元及欠款利息，需分20次付完，且每月总付款数顺次组成等差数列.解：由题意，购置当天付了15万元，欠款100万元.每月付5万元，共分20次付完.设每月付款数顺次组成数列an，则a151001%=6，a25(100-5)1%=6-0.05，a35(100-52)1%=6-0.052，依次类推，得an=6-0.05(n-1)(1n20).由于an-a n-1=-0.05，所以an组成等差数列，a10=6-0.059=5.55(万元).从而，全部房款付清后总付款数为S20+15=+15=125.5(万元).答：第10个月应付5.55万元，购买这套房子实际花了125.5万元.点评：解应用题时，首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系，逐个数据进行分析，建立相应的数学模型.再求解数学模型，得出数学结论，最后回答实际问题.4.把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于()A.1 113B.4 641C.5 082D.53 361分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数.解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1+2+3+20=210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21=21211+1=4 641，故选B.点评:认真分析条件，转化为数列的基本问题.二、阅读材料古代有关数列求和问题的故事我国数列求和的概念起源很早，古书周髀算经里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；九章算术中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念.到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在张丘建算经里给出了几个等差数列问题.例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式.再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式d=()(n-1).这个公式等价于现今中学课本里的公式：.大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事.其实，更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元前3 000年.问题:一百份面包五个人分，要求：第二个人比第一个人多多少，第三个人比第二个人也多多少，同样，第四个人比第三个人，第五个人比第四个人也多多少.此外，前两人所得的总数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少？解：我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包x份，第二个人比第一个人多分得y份，则第二个人分得xy份，第三个人分得x2y份，第四个人分得x3y份，第五个人分得x+4y份.于是有方程组化简，得解得.所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为, ,20, ,.上面的一列数x，xy，x2y，x+3y，x+4y，由于项数较少，我们可以直接相加求出它们的和.如果项数很多，怎样求它们的和呢？具体地说，设Sn=x+(xy)+(x+2y)+(x3y)+(x+ny)，能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢？这是容易做到的，我们采用高斯的方法，把式倒过来写，得Sn=(x+ny)x(n-1)y+(x3y)+(x+2y)+(xy)+x，把与式按对应项相加，得2Sn=(2x+ny)+(2x+ny)+(2x+ny).=(2x+ny)(n+1)=2(n+1)x+n(n+1)y.Sn=(n+1)x+y.这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列)，求和是极快捷有效的.实际上，前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数学著作中屡见不鲜，而且解法也令人叫绝，如翠薇山房算学丛书中有关梯形堆积物求总数问题，有兴趣的话，可以查阅一下相关资料.